当铁心下移时，L1＜L2，ZL1＜ZL2，则有iR2＞iR1，eCD＜0。
在恒压交流信号源UP的负半周，D1、D3导通，D2、D4截止。流经电阻R1的电流iR1的途径为：F点（地）→R1→C点→D1→A点→L1→E点；流经电阻R2的电流iR2的途径为：F点（地）→R2→D点→D3→B点→L2→E点。
输出端电压
eCD??iR1R1?iR2R2??iR2?iR1?R
当铁心处于中间位置时，L1＝L2，ZL1＝ZL2，则有iR1＝iR2，eCD＝0。
当铁心上移时，L1＞L2，ZL1＞ZL2，则有iR1＜iR2，eCD＞0。
当铁心下移时，L1＜L2，ZL1＜ZL2，则有iR1＞iR2，eCD＜0。
综合以上分析，无论在恒压交流信号源UP的正半周或负半周，当铁心处于中间位置时，eCD＝0；当铁心上移时，eCD＞0；当铁心下移时，eCD＜0。
铁心在中间位置、上移及下移时流经电阻R1和R2的电流iR1和iR2
及输出端电压eCD的波形图如图所示。
5-5 用一电涡流式测振仪测量某机器主轴的轴向振动。已知传感器的灵敏度为20mV／mm，最大线性范围为5mm。现将传感器安装在主轴两侧，如图（a）所示，所记录的振动波形如图（b）所示。请问：
（1）传感器与被测金属的安装距离L为多少时测量效果较好？ （2）轴向振幅的最大值A为多少？
（3）主轴振动的基频f是多少？ 解：（1）为保证输出信号与轴向振动位移成线性关系，传感器与被测金属的安装距离L＜5mm时测量效果较好。
（2）由图（b）可知，所记录的振动波形的峰－峰值为40mV，而传感器的灵敏度为20mV／mm，故轴向振幅的最大值
A?40?2mm 20（3）由图（b）可知，所记录的振动波形的两个周期为40ms，即一个周期为20ms，故主轴振动的基频
f?1?50Hz
20?10?32-31
5-6 现有一只电容式位移传感器，其结构如图所示。已知：L＝25 mm，R＝6mm，r＝4.5 mm。其中圆柱 C为内电极，圆筒 A、B为两个外电极，D为屏蔽套筒，CBC构成一个固定电容CF，CAC是随活动屏蔽套筒伸入位移量x而变的可变电容Cx。采用如图3-15所示的运算测量电路，其信号源电压有效值E＝6 V。问：
（1）在要求输出电压Usc与输入位移x成正比时，画出测量电路原理图，标出CF和Cx在图中应连接的位置；
（2）求该电容传感器的输出电容—位移灵敏度Kc；
（3）求该测量变换系统输出电压一位移灵敏度Kv； （4）固定电容的作用是什么？
解：（1）为满足输出电压Usc与输入位移x成正比的关系，将CF接入反馈回路，CX接在输入回路，如图所示。这时有
USCZC??F??X USRZXCFCXUSR CF因此有 USC??而CX?2??0?L?x?2??0L，CF?，将CX、CF代入上式，得
ln?Rr?ln?Rr?L?xUSR L USC??由此可见，输出电压Usc与输入位移x成正比的关系。 （2）由CX?2??0?L?x?求输出电容—位移灵敏度 ln?Rr?2??0dCX2???13.6????????1.9pFcm??0.19pFmm
dxln?Rr?ln?64.5?L?xUSR求输出电压一位移灵敏度 L Kc?（3）由USC?? Ku?dUSCUSR6???0.24Vmm dxL25（4）CF为参比电容，输出电压Usc与CX和CF的比值成比例关系，由于CF是一个固定电容，
因而使输出电压Usc与CX成比例关系。而且，由于CF与CX的结构完成相同，它们相比时，某些结构参数可消去，从而使计算更为简便。 5-7 有一平面直线位移型差动电容式传感器，其测量电路采用变压器交流电桥，结构及电
2-32
路如图所示。电容式传感器的极距d＝2mm，极板宽度b1＝b2＝b0＝20mm。起始时，a1＝a2＝a＝10mm。极间介质为空气。测量电路的初级电压ui＝3sinωt（V），次级电压 u＝ui。试求当动极板左、右移动Δx＝5mm时，电桥的输出电压uo。
解：平面直线位移型差动电容式传感器的起始电容量
C?0b0a10?C20?C0?d
当动极板向左移动Δx时， C1?C0??C??0b0?a??x??C??d?1?x?0?a??
C?0b0?a??x?2?C0??C?d?C??x?0??1?a??
变压器电桥的输出电压 uC2?C1o1?Cui
2?C1将C1、C2和ui代入，得 u?xo1??au5i??10?3sin?t??1.5sin?t 当动极板向右移动Δx时， C?a??x?1?C0??C??0b0?C??x?d0??1?a??
C??x?2?C?0b0?a0??C?d?C??x?0??1?a??
将C1、C2和ui代入变压器电桥的输出电压表达式，得 uo2??xau?5i10?3sin?t?1.5sin?t
5-8 如图所示，圆筒形金属容器中心放置一个带绝缘套管的圆柱形电极用来测介质液位。绝缘材料相对介电常数为ε1，被测液体相对介电常数为ε2，液面上方气体相对介电常数为ε3，电极各部位尺寸如图所示，并忽略底面电容。求：当被测液体为导体及非导体时的两种情况下，分别推导出传感器特性方程CH＝f（H）
解：根据题意画出该测量系统等效电路如左图所示。其中C1和C2分别为绝缘套在电极上、下两部分形成的电容，C2为液面上方气体在容器壁与绝缘套管外表面间形成的电容，C4为被测液体在容器壁与绝缘套管外表面间的电容。
2-33
设被测液位最低点与容器底部的高度为L0，L1＝L－L0。 根据同心圆筒电容计算公式可得各电容表达式分别为 C1?2??3?L1?H?2??1?L1?H?； C2?；
ln?D1d?ln?DD1?2??1H2??2H； C4?。
ln?D1d?ln?DD1? C3?当被测液体为非导体时，则有
CH?C1//C2?C3//C4
? 2??1?3?L1?H?2??1?2H??A?BH?1ln?DD1???3ln?D1d??1ln?DD1???2ln?D1d?式中，A?2??1?3L1
?1ln?DD1???3ln?D1d?2??1?32??1?2 ??1ln?DD1???3ln?D1d??1ln?DD1???2ln?D1d? B?当被测液体为导电体时，C4＝0，则有
CH?C1//C2?C3
2??1?3?L1?H?2??1H???A?BH?1ln?DD1???3ln?D1d?ln?D1d?式中，A?2??1?3L1
?1ln?DD1???3ln?D1d?2??1?32??1 ?ln?D1d??1ln?DD1???3ln?D1d? B?
第7章 热电式传感器
6-1 某热电阻温度计的显示仪表是按起始电阻值为R0＝100Ω，电阻温度系数α＝4.28×10-3
／℃的铜热电阻来分度的。但实际所用的铜热电阻的起始电阻值为R＝98.62 Ω，电阻温度系数α＝4.25×10-3／℃。当仪表的指示值为80℃时，实际的被测温度是多少？
解：设实际的被测温度为t℃。
当仪表的指示值为80℃时，对应的热电阻电阻值为Rt＝R0（1＋80α）。而热电阻电阻值与实际的被测温度t的关系为Rt＝R0实（1＋α实t），因此有
2-34
R0（1＋80α）＝R0实（1＋α实t）
t＝〔R0（1＋80α）／R0实－1〕／α实
＝〔100×（1＋80×4.28×10-3）／98.62－1〕／4.25×10-3 ＝84.98℃ 6-2 某负电阻温度系数热敏电阻的R0＝5080Ω、B＝2700K，若它的测温范围为－20～50℃，试计算其相应的电阻值变化范围。
解：负电阻温度系数热敏电阻的电阻值与温度的关系式为
??11??RT?R0exp?B??T?T???
0???? 参考温度T0＝273.15+25＝298.15K
当t＝－20℃时，T＝273.15－20＝253.15K，代入上式可求得RT＝25408Ω。 当t＝50℃时，T＝273.15＋50＝323.15K，代入上式可求得RT＝2521Ω。 即在测温范围－20～50℃内，其相应的电阻值变化范围为25408～2521Ω。 6-3 用K型热电偶和显示仪表配套测温，显示仪表的机械零点调整在t0＝20℃处，若冷端温度t0 ＇＝30℃，仪表的指示值 t＇＝860℃，求热端的实际温度t。
解：热电偶回路产生的热电势为E（t，t0＇），显示仪表的指针由机械零点t0移动到指示值t＇所需的热电势为E（t＇，t0），显示仪表所接受的热电势即为热电偶回路产生的热电势，因此有
E（t，t0＇）＝E（t＇，t0） 根据中间温度定律，上式可写为 E（t，0）－E（t0＇，0）＝E（t＇，0）－E（t0，0） 故有 E（t，0）＝E（t＇，0）－E（t0，0）＋E（t0＇，0） ＝E（860，0）－E（20，0）＋E（30，0） 查分度表，将以上热电势值查出，并代入上式
E（t，0）＝35.718－0.798＋1.203＝36.123mV 按E（t，0）查分度表求出热端的实际温度t t?870?36.123?36.121?10?870.05℃
36.524?36.1216-4 用K型热电偶、显示仪表和相应的补偿导线配套组成测温系统测量加热炉的炉温，热电偶与补偿导线的连接点温度为20℃，补偿导线与显示仪表的连接点温度为30℃，显示仪表的机械零点调整在0℃的位置，显示仪表的指示值为980℃。后来发现，由于工作疏忽，把补偿导线的极性接反了。问加热炉的实际炉温是多少？由于补偿导线接反而引起的附加误差是多少？
解：由于补偿导线的极性接反了，热电偶回路产生的热电势为E（t，20）－E（20，30）。 显示仪表的指针由机械零点移动到指示值所需的热电势为E（980，0），显示仪表所接受的热电势即为热电偶回路产生的热电势，因此有
E（t，20）－E（20，30）＝E（980，0） 根据中间温度定律，上式可写为
E（t，0）－E（20，0）－E（20，0）＋E（30，0）＝E（980，0） 故有 E（t，0）＝E（980，0）＋2× E（20，0）－E（30，0） 查分度表，将以上热电势值查出，并代入上式
E（t，0）＝40.488＋2×0.798－1.203＝40.881mV 按E（t，0）查分度表求出热端的实际温度t
2-35
t?980?40.881?40.488?10?989.61℃
40.897?40.488若补偿导线的极性没有接反，热电偶回路产生的热电势为E（t′，30），因此有
E（t′，30）＝E（980，0）
根据中间温度定律，上式可写为
E（t′，0）－E（30，0）＝E（980，0）
故有 E（t′，0）＝E（980，0）＋E（30，0） 查分度表，将以上热电势值查出，并代入上式
E（t′，0）＝40.488＋1.203＝41.691mV
按E（t，0）查分度表求出热端的温度t′ t??1010?41.691?41.657?10?1010.88℃
42.045?41.657由于补偿导线接反而引起的附加误差
?t?t??t?1010.88?989.61?21.27℃
6-5 某测温系统由K型热电偶、补偿导线、冷端温度补偿器和显示仪表配套组成。已知冷端温度补偿器的平衡温度为20℃，显示仪表的机械零点调整在0℃处。现用该测温系统测量某加热炉的炉温，显示仪表指示的温度为758℃，当时冷端温度补偿器所处的温度为35℃。后来发现错用了分度号为s的冷端温度补偿器。问加热炉的实际温度是多少？
解：热电偶产生的热电势为EK（t，35），冷端温度补偿器产生的电势为ES（35，20），整个热电偶回路产生的电势为EK（t，35）＋ES（35，20）。
显示仪表的指针由机械零点移动到指示值所需的热电势为EK（758，0），显示仪表所接受的热电势即为热电偶回路产生的热电势，因此有
EK（t，35）＋ES（35，20）＝EK（758，0） 根据中间温度定律，上式可写为
EK（t，0）－EK（35，0）＋ES（35，0）－ES（20，0）＝EK（758，0） 故有 EK（t，0）＝EK（758，0）＋EK（35，0）－ES（35，0）＋ES（20，0） 查分度表，将以上热电势值查出，并代入上式
EK（t，0）＝31.546＋1.407－0.204＋0.133＝32.882 按EK（t，0）查分度表求出热端的实际温度t t?790?
32.882?32.866?10?790.39℃
33.277?32.8662-36