第4章 二次曲线和二次曲面
习题4.1
1.在直角坐标系xOy中，以直线l:4x?3y?12?0为新坐标系的x?轴，取通过A(1,?3)且垂直于l的直线为y?轴，写出点的坐标变换公式， 并且求直线 l1:3x?2y?5?在新坐标系中的方程。0解：直线l:4x?3y?12?0的方向是(3,4)，与它垂直的方向是?(?4,3)，新坐标系的x?轴的坐标向量取为(3443,)，y?轴坐标向量取为(?,)，与直线5555l:4x?3y?12?0垂直且的直线方程可设为3x?4y?c?0，由于过点A(1,?3)，得
到直线方程是3x?4y?9?0，两直线的交点(?3,0)是新坐标原点，所以点的坐标变换公式：
?3?x??5?????y??4??5?4?5??x????3???????. ?3??y??0?5??直线l1:3x?2y?5?0在新坐标系中的方程：
l1:3(35x??45y??3)?2(45x??35y?)?5?0，
化简有l1:x??18y??20?0.
2.作直角坐标变换，已知点A(6,?5),B(1,?4)的新坐标分别为(1,?3),(0,2)，求点的坐标变换公式。
解：设同定向的点的坐标变换公式是：
?x??cos??????y??sin??sin???x???a???????. cos???y???b?它的向量的坐标变换公式是：
?u??cos??????v??sin??sin???u??????. cos???v???????????由题意知向量AB?(?5,1)变为A?B??(?1,5)，于是有
??5??cos??????1??sin??sin????1?125得到于是点的坐标变换公.sin??,cos??.???1313cos???5?式是：
?5?x??13?????y??12??13?12?13??x???a?,??????.将点B(1??5??y??b?13??4及)它的像点(0,2)代入得到
?37??a??13??,所以点的坐标变换公式是： ?????b??62????13???5?x??13?????y??12??1312?13??5?13???37??x???13??. ??????y??62????13???设反定向的点的坐标变换公式是：
?x???cos??????y??sin?sin???x???a????????. cos???y??b?它的向量的坐标变换公式是：
?u???cos??????v??sin?sin???cos???u?????. ?v???????????由题意知向量AB?(?5,1)变为A?B??(?1,5)，于是有
??5???cos?????1???sin?sin???cos????1?于是点的坐标变换公式s?0.??.得到sin???1,co??5?是：
?x??0?????y???1?1??x???a???????.将点B(1?,0??y???b?及它的像点(0,2)代入得到4?a??3??????,所以点的坐标变换公式是： b?4?????x??0?????y???1?1??x???3????????. 0??y???4?3.设新旧坐标系都是右手直角坐标系，点的坐标变换公式为
?22x??y??5,?x?22(1)??22x??y??3;?y???22?x???y?3, (2)??y?x?2.?其中，(x,y)与(x?,y?)分别表示同一点的旧坐标与新坐标，求新坐标系的原点的旧坐标，并且求坐标轴旋转的角?。
解：（1）新坐标系的原点的旧坐标为x??0,y??0代入公式中计算的结果，即(5,?3)。由点的坐标变换公式知道是同定向的，于是转角?满足sin???22,cos??22,由于
0???2?，所以??7?4.
（2）与上一问题同理，新坐标系的原点的旧坐标为(2,3。)转角?满足
sin???1,c?os?由于00???2?，所以??3?2.
4.在右手直角坐标系?1中，设两直线li:Aix?Biy?Ci?0(i?1,2)互相垂直，取
l1,l2为右手直角坐标系?2的O?y?轴，O?x?轴，试求?2到?1的点的坐标变换公式。
解：由于两直线l1,l2互相垂直，且l1,l2为右手直角坐标系?2的O?y?轴，O?x?轴，即所以当l1,l2在右手直角坐标系?2下的方程为l1:x??0,l2:y??0，到?1的点的坐标变换公式：
???x????y????1A?B1A?B22222121A1A2B1B2?2?0时，
(A1x?B1y?C1),
(A2x?B2y?C2).当
A1A2B1B2?0时，?2到?1的点的坐标变换公式：
1???x(A1x?B1y?C1),?22A1?B1? ?1?y???(A2x?B2y?C2).22?A2?B2?
5.设OABC为四面体，L,M,N依次是?ABC的三边AB,BC,CA的中点，取
??????????????????????????1?{O;OA,OB,OC}，?2?{O;OL,OM,ON}。
（1）求?1到?2点的坐标变换公式和向量的坐标变换公式，再?2到?1求点（向量）的坐标变换公式。
（2）求A,B,C,AB,AC的?2坐标。
????????????????????????????1???1???1???解：（1）依题意有OL?(OA?OB),OM?(OB?OC),ON?(OA?OC),所
222????????以?1到?2?11点的过渡矩阵是A??12???00111??0，?1到?2点的坐标变换公式?1???x??11???y?1??2????z???0?u??11???v?1??2????w???00110111??0?1??1??0?1???x?????y,????z????1到?2点的向量的坐标变换公式
?u?????其中a在仿射坐标系?1和(u,v,w),(u?,v?,w?分别是向量)v,????w????2下的坐标。
由以上关系得到
???????????????????????????????????????????????????OA?OL?OM?ON,OB?OL?OM?ON,OC??OL?OM?ON,
?1所以?2到?1点的过渡矩阵是B???1???1?x???1????y??1?????z?????111?1?1??1?1??11?1?1??1，?2到?1点的坐标变换公式 ?1???x???向量的坐标变换公式一样。 y,????z??????????（2）A,B,C,AB,AC的?1坐标分别是
????????A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),AB?(?1,1,0),AC?(?1,0,1)， ????????由?2到?1点和向量的坐标变换公式得到A,B,C,AB,AC的?2坐标分别是 ????????A(1,?1,1),B(1,1,?1),C(?1,1,1),AB?(0,2,?2),AC?(?2,2,0)。
6. 在右手直角坐标系?1?{O;e1,e2,e3中}，已给三个互相垂直的平面
?1:x?y?z?1?0,?2:x?z?1?0,?3:x?2y?z?2?0。确定新的坐标系?,e2?,e3?，?2?{O?;e1}使得?1,?2,?3分别为y?O?z?,z?O?x?,x?O?y?坐标面，且O在新坐
标系的第一卦限内，求?1到?2的点的坐标变换公式。
解：由于三个平面?1,?2,?3分别为y?O?z?,z?O?x?,x?O?y?坐标面，所以坐标之间的关系可设为
x???13(x?y?z?1),y???12(x?z?1),z???16(x?2y?z?2)，
又O在新坐标系的第一卦限内，所以O在新坐标系的三个坐标都为正，于是
x???13(x?y?z?1),y??12(x?z?1),z??16(x?2y?z?2)，
故?1到?2的点的坐标变换公式
1???3??x??1??y?????3???z???1??3?1???3??1???3??1??3?12012?120?12162616??????????1626161???????3??x????????1??(y???????)2??z??????2???????6? ???1???x???2??????y??1?.??????z????1??2?7. 在右手直角坐标系Oxyz中，方程
2229x?25y?16z?24xz?80x?60z?0
表示什么曲面？
解：将方程9x2?25y2?16z2?24xz?80x?60z?0进行配方，
由于平面3x?4z?0,y?0,4x?3z?0,两(3x?4z)?25y?20(4x?3z)?0，
两垂直，所以将它们分别作为新坐标系的坐标平面y?O?z?,x?O?z?,x?O?y?，于是作坐标变换：
???x???y????z???1515(3x?4z),22y,(4x?3z),将它们代入方程得到x?2?y?2?4z??0,因此该方程表示双曲抛
物面。
8.已知e?r,e?1，将r绕e右旋角度?得r1，试用,r,?表示r1。 解：如下图由于e是单位向量，且e?r,所以r绕e右旋角度
?2得到e?r，三向量r，