e
e?r? r1
r
r1，e?r共面且有相同的模长，于是r1可表示为r与e?r的线性组合，即
r1?kr?le?r，分别与r，e?r作内积，得到k?cos?,l?sin?，故 r1?cos?r?sin?e?r.
9.将右手直角坐标系?1?{O;e1,e2,e3}绕方向v?(1,1,1)右旋
?,e2?,e3?}，求?1到?2的点的坐标变换公式。 系?2?{O;e1?3，原点不动，得坐标
解：先考虑一个向量r绕另一个向量v右旋?得到的向量r1的表达式，
r?? vr1 r1? r r?
过r的终点作垂直于v的向量r?，绕v右旋?得到的向量r1?，r1?的终点就是r1的终点，于是r1??cos?r??sin?vv?r?.而r??r?r?vv2v，r1??r1?r?vv2v，所以
r1?cos?r?(1?cos?)r?vv2v?sin?v?rv.
由此表达式e1,e2,e3绕方向v?(1,1,1)右旋
??e123e1?23e2?13???e3,e213e1?23?323得到
??e3,e323e1?13e2?23e3，
e2?所以坐标变换为
?x??21???y?2??3????z????1?1222???1?2???x?????y。 ????z???1. 设l1与l2是两条不垂直的异面直线，分别通过l1和l2作两个互相垂直的平面，证明交
线的轨迹是单叶双曲面。
解：设异面直线的距离为2a，夹角为2?,0????4，建直角坐标系使得公垂线为x轴，
公垂线段的中点为坐标原点，两异面直线在yOz坐标面上的投影的两角平分线为坐标轴，则两直线的方程可表示为
?x?a?0,?x?a?0, l1:?l2:??y?ztan??0,?y?ztan??0,通过l1和l2的平面束方程分别为：
k(x?a)?y?ztan??0,l(x?a)?y?ztan??0,要使得两平面垂直，则有
2(k,1,?tan?)?(l,1,tan?)?0,即kl?1?tan??0,于是相交直线的轨迹满足
kl(x?a)(x?a)?(y?zta?n22222)(y?zt?an?)因而
22(1?tan?)x?y?ztan??(1?tan?)a,
所以交线的轨迹是单叶双曲面。 习题4.3
1.利用不变量求下列曲面的简化方程：
（1）11x2?10y2?6z2?12xy?8yz?4xz?72x?72y?36z?150?0; （2）x2?3y2?z2?2xy?2yz?2xz?2x?4y?4z?12?0; （3）xy?yz?xz?a2?0;
（4）9x2?4y2?4z2?12xy?8yz?12xz?4x?y?10z?1?0; （5）2y2?4xz?2x?4y?6z?5?0. 解：（1）二次曲面的矩阵：
?11??6A???2??36?610?4?362?461836???36?, 18??150?计算不变量
I1?11?10?6?27,I2?11I3??62?610?4211?6?610?11211?623626?10?4?462?4618?180,36?3618150??12?4?81.?610?4?36
?4?4?81?324,I4?6特征方程是??3?27?2?180??324?0,即(??3)(??6)(??18)?0, 特征根为?1?3,?2?6,?3?18,I4I3??12,
于是，简化方程为3x?2?6y?2?18z?2?12?0.即x?2?2y?2?6z?2?4?0. （2）二次曲面的矩阵：
?1?1A???1???113121112?1??2?, 2??12?计算不变量
I1?1?3?1?5,I2?1I3?1113111?0,I4?111111?113?131211111211?3111?4,?12212??18.
特征方程是??3?5?2?4??0,即?(??1)(??4)?0,
I4I2?18492特征根为?1?1,?2?4,?3?0,???,
于是，简化方程为x?2?4y?2?32z??0. （3）二次曲面的矩阵：
??0??1A??2?1??2?0?120120121200?0??0??, ?0??2??a?计算不变量
0I1?0,I2?3120I3?12121201212120?14120??34,01,I4?2120120120121200000?a2
??a24.特征方程是??3?34??14?0,即(??1)(2??1)?0, 1222特征根为?1?1,?2??3??于是，简化方程为x?2?（4）二次曲面的矩阵：
?9??6?A??6??2??6441264452??1?2? ,5???1??,I4I3??a,
212y??12z??a?0.
22计算不变量
I1?9?4?4?17,I2?9699I3?6664464?0,I4?46626464412?9664456421251?4444?0,
?0.
9K2?62641221219?6264524445125??18334,
5?4112特征方程是??3?17?2?0, 特征根为?1?17,?2??3?0,K2I1494,
??于是，简化方程为17x?2?7y??0. （5）二次曲面的矩阵：
?0?0A???2??1020?220031???2?, 3??5?计算不变量
I1?2,I2?0I3?020200020??8,I4?002?0220?002120020?200??4,20031?235?0.
特征方程是??3?2?2?4??8?0,即(??2)2(??2)?0, 特征根为?1??2?2,?3??2,I4I3?0,
于是，简化方程为2x?2?2y?2?2z?2?0.即x?2?y?2?z?2?0.
2.证明：二次曲面为圆柱面的条件为I3?0,I12?4I2,I4?0。 证明：用不变量表示的圆柱面的简化方程是 ?1x??2y?22K2I2?0，于是I3?I4?0,特征方程??3?I1?2?I2??0有两个相
同的根，即?2?I1??I2?0有两个相同的根，因而I12?4I2.
3.求a,b之值，使二次曲面