222x?y?z?2axz?2byz?2x?4y?2z?0
表示二次锥面。
解：二次锥面的不变量I3?0,I4?0,所以
1I4?0a?101b?2ab?11?1?210?4a?b?4ab?2a?4b?4?0.
224.求出曲面方程
(ax?by?cz?d)(a1x?b1y?c1z?d1)?0
的简化方程。 解：设平面：
f(x,y,z)?ax?by?cz?d?0,f1(x,y,z)?a1x?b1y?c1z?d1?0
两平面的法向量为n?(a,b,c),n1?(a1,b1,c1),如果两平面重合，则简化方程为
n2x??0，其中x??2ax?by?cz?dn.
如果两平面平行不重合，则n?(a,b,c),n1?(a1,b1,c1)共线，令
x??ax?nb?y1cz?(2nd1d?) ,n11dd(?12nn1d1n12??于是f(x,y,z)?n(x)),f1(x,y,z)?n1(x??12(d1n1?dn)),所以
简化方程为nn1(x?2?14(dn?))?0.
如果两平面不平行，则以它们的角平分面为新坐标面建立新坐标系，单位法向量记为
n,n1，因而角平分面的方程为
00f(x,y,z)n000?f1(x,y,z)n1?0,f(x,y,z)n?f1(x,y,z)n1?0,它们的法向量分别是
n?n1,n?n1。前一个角平分面为y?O?z?面，后一个角平分面为x?O?z?面，因而令
0f1(x,y,z)1f(x,y,z)???x(?),?00nnn?n11? ?f1(x,y,z)1f(x,y,z)?y??(?),00?nn1n?n1?于是简化方程为
nn14(n?n1002x??n?n12002y?)?0.
25.证明：在直角坐标系Oxyz中，顶点在原点的二次锥面
a11x?a22y?a33z?2a12xy?2a23yz?2a13xz?0
222有三条互相垂直的直母线的充分必要条件是a11?a22?a33?0。
证明：必要性，因为二次锥面的顶点为原点，且有三条互相垂直的直母线，所以选取该三条直母线为新坐标系（原点不变）的坐标轴，新坐标系下的方程变为：
?x??a22?y??a33?z??2a12?x?y??2a23?y?z??2a13?x?z??0 a11222新坐标系下的点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)都在曲面上，应满足上述曲面的方程，因而得
??0,a22??0,a33??0，即不变量I1?a11?a22?a33?0. 到a11充分性，因为曲面是二次锥面，所以可以选取适当的直角坐标系使曲面的方程是
ax??by??cz??0,且不变量I1?a?b?c?0,其上选点(c,0,a)即一直
222222222母线l1的方向向量，则由向量(?ab,c4?a4,bc)确定的直母线l2与直母线l1垂直。现在以这两条直母线为新坐标系的坐标轴x?,y?轴，在此坐标系下的点(1,0,0),(0,1,0)在曲面
??z??2?2a12??x??y???2a23??y??z???2a13??x??z???0，I1?a33???0.由上，所以曲面的方程为a33此可见点(0,0,1)也在曲面上，它决定的直母线l3与直母线l1、l2都垂直，故曲面上有三条互相垂直的直母线。 习题4.4
1.求下列曲面的中心
（1）14x2?14y2?8z2?8xy?4xz?4yz?18x?18y?5?0; （2）5x2?26y2?10z2?6xy?14xz?4yz?8x?18y?10z?4?0; （3）x2?y2?z2?2xy?2xz?2yz?2x?2y?2z?3?0. 解：（1）曲面的中心满足
?14x?4y?2z?9?0,11???4x?14y?2z?9?0,此方程组有唯一解(?,,0)，即为中心。
22??2x?2y?8z?0,?（2）曲面的中心满足
?5x?3y?7z?4?0,?x?6y?2z?1?0,?它等价于表示中心在该直线上。 ??3x?26y?2z?9?0,?11y?z?3?0,?7x?2y?10z?5?0,?（3）曲面的中心满足
?x?y?z?1?0,???x?y?z?1?0,等价于x?y?z?1?0，表示中心在此平面上。 ?x?y?z?1?0,?2.判断下列各二次曲面何者是中心曲面，何者是非中心曲面，并进一步区分是线心曲面、面心曲面还是无心曲面。
（1）3x2?5y2?3z2?4xy?2xz?2yz?2x?12y?10z?20?0; （2）2x2?18y2?8z2?12xy?24yz?8xz?5x?15y?10z?2?0; （3）4x2?y2?z2?2yz?8x?4y?8z?2?0. 解：（1）曲面的矩阵
?3??2?A??1??1?25?161?1351?3?6?，不变量I??235?1?20??25?11?1?29?0,曲面是中心曲面。 3（2）曲面的矩阵
??2???6A????4??5???2?61812152?41285?5?2??215?2?，不变量I3??6?5?4??2???6512?412?0,所以曲面是非中心曲8面。曲面的中心满足
5?2x?6y?4z??0,?2?15??6x?18y?12z??0,方程组等价于?4x?12y?8z?5?0,即中心在一个平?2???4x?12y?8z?5?0,??面上，所以是面心曲面。
（3）曲面的矩阵
?4?0?A??0???40?11?201?14?4?4??2?，不变量I?034?0??2?0?1101?0,曲面是非中心曲面，曲面?1中心满足
?4x?4?0,???y?z?2?0,方程组无解，所以曲面是无心曲面。 ?y?z?4?0,?3.求下列各二次曲面的渐近锥面： （1）2xz?y2?2z2?1?0;
（2）x2?y2?z2?4xy?4xz?4yz?3?0; （3）5x2?9y2?9z2?12xy?6xz?12x?36z?0. 解：（1）曲面的不变量
0I3?0101010??1?0,所以曲面是中心曲面，有渐近锥面，曲面的中心为原点，故?2渐近锥面方程为2xz?y2?2z2?0.
（2）曲面的中心满足
?x?2y?2z?0,???2x?y?2z?0,原点是它的唯一解，曲面是中心曲面，故渐近锥面方程为??2x?2y?z?0,?x?y?z?4xy?4xz?4222yz?0 .（3）曲面的不变量
5I3??6?3?690?30?0,所以曲面是非中心曲面，因此没有渐近锥面。 9习题4.5
1.求下列二次曲面的奇向
（1）9x2?4y2?91z2?18xy?40yz?36?0;
（2）x2?y2?4z2?2xy?4xz?4yz?4x?4y?8z?0. 解：（1）曲面的不变量
9I3?909?4?200?20?0,所以曲面没有奇向。 ?91（2）曲面的不变量
1I3?1?211?2?x?y?2z?0,?奇向满足方程组?x?y?2z?0,等价?2?0,所以曲面有奇向，
??2x?2y?4z?0,4??2于x?y?2z?0,所以平行于平面x?y?2z?0的方向都是奇向。
2.已知曲面x2?2y2?z2?2xy?2yz?2xz?4x?1?0，求与方向1:(?1):0共轭的直径面方程。
解：曲面的矩阵
?1??1A???1???2?12?101?1?10?2??0?，与方向1:(?1):0共轭的直径面方程 0???1?x?y?z?2?(?x?2y?z)?0，即2x?3y?2z?2?0。
3. 已知曲面4x2?y2?z2?4xy?4xz?2yz?x?y?1?0，求过原点的直径面。 解：曲面的矩阵
??4??2A????2??1??221?1?12?2?1101?2??1??2?，则与方向X:Y:Z共轭的直径面是 ?0??1??X(4x?2y?2z?12)?Y(2x?y?z?12)?Z(?2x?y?z)?0，因为经过原点，
所以，X?2112代入直径面的方程中得到(3X?Z)(2x?y?z)?0,由Y?0即X?Y，
此得直径面的方程2x?y?z?0.
4.求曲面S1:x2?y?z?0,S2:x2?y2?z2?2x?2y?2z?0的公共的直径面。 解：因为有中心的曲面的直径面都要经过中心，所以求出曲面的中心就可以解决问题。
S1:x?y?z?0与方向X:Y:Z共轭的直径面方程Xx?222212Y?12Z?0。
S2:x?y?z?2x?2y?2z?0的中心满足方程组x?1?0,y?1?0,z?1?0，