即中心是(1,1,1)，该中心应该在直径面上，所以X?12Y?12Z?0，故公共的直径面方
程是x?1?0.
5.求下列二次曲面的主方向与主径面，并且求出直角坐标变换，写出简化方程。
（1）14x2?14y2?8z2?4yz?4xz?8xy?18x?18y?5?0; （2）3x2?5y2?3z2?2xy?2xz?2yz?2x?12y?10z?20?0. 解：（1）曲面的矩阵
?14??4A????2??9?414?2?9?2?2809???9?， 0??5?不变量I1?36,I2?14I4??4?29?414?2?9?2?28014?49?905?414?14?2?28?14?2?28?396,I3?36,
2??4?36.
22特征方程是??3?36?2?396??362?0即,(??6)(??30??216)?0,特征根
是?1?6,?2?12,?3?18.简化方程是6x?2?12y?2?18z?2?4?0.
特征根?1?6的主方向满足方程组
?8X?4Y?2Z?0,???4X?8Y?2Z?0,得到主方向X:Y:Z?1:1:2，?4(1,1,2)?0对应的主经??2X?2Y?2Z?0?面是x?y?2z?0.
特征根?2?12的主方向满足方程组
?2X?4Y?2Z?0,???4X?2Y?2Z?0,得到主方向X:Y:Z?1:1:(?1)，?4(1,1,?1)?0对应的??2X?2Y?4Z?0?主经面是x?y?z?0.
特征根?3?18的主方向满足方程组
??4X?4Y?2Z?0,???4X?4Y?2Z?0,得到主方向X:Y:Z?1:(?1):0，?4(1,?1,0)?18对应??2X?2Y?10Z?0?的主经面是x?y?1?0.
曲面的中心是(?1?6??x??1??y?????6??z???2??612,?13131312,0)，直角坐标变换是 ??2?1???2??0??1?1??2???x???1????y???. ???2???z????0????????（2）曲面的矩阵
?3??1A???1??1?15?161?1351??6?， 5??20?不变量I1?11,I2?3I4??111?15?161?1353?116520?15?3113?5?1?13?36,I3?36,
??36.
特征方程是??3?11?2?36??36?0,即(??6)(?2?5??6)?0,特征根是?1?2,?2?3,?3?简化方程是6.2x??3y??6z??1?0.
222特征根?1?2的主方向满足方程组
?X?Y?Z?0,???X?3Y?Z?0,得到主方向X:Y:Z?1:0:(?1)，?4(1,0,?1)??4对应的?X?Y?Z?0?主经面是x?z?2?0.
特征根?2?3的主方向满足方程组
??Y?Z?0,???X?2Y?Z?0,得到主方向X:Y:Z?1:1:1，?4(1,1,1)?12对应的主经面?X?Y?0?是x?y?z?4?0.
特征根?3?6的主方向满足方程组
??3X?Y?Z?0,??4(1,?2,1)??6对应的主??X?Y?Z?0,得到主方向X:Y:Z?1:(?2):1，
?X?Y?3Z?0?经面是x?2y?z?1?0.
曲面的中心是(?????x????y???????z??????1201216,?53,?1136)，直角坐标变换是 ?1???6??x????5????? y??.???3???z????13??????6??131313?62616?????????
6.证明：过中心曲面的中心的任何平面都是直径面。
证明：设中心曲面的中心为原点，则过曲面的中心的平面方程为：Ax?By?Cz?0。因为中心曲面的不变量I3?0，所以与任何方向X:Y:Z共轭的直径面均存在，可设为
?1(X,Y,Z)x??2(X,Y,Z)y??3(X,Y,Z)z?0。
由于I3?0，所以方程组
??1(X,Y,Z)?kA,???2(X,Y,Z)?kB,有唯一解，即存在与方向X:Y:Z共轭的直径面就是所给的平???3(X,Y,Z)?kC,面。
7.请写出二次曲线的弦、直径、奇向、共轭方向、共轭直径、对称轴、主轴与主方向的定义。
解（略）
8.证明定理4.5.2?。 证明（略） 9.证明定理4.5.3?。 证明（略）
10.求二次曲线5x2?5y2?6xy?18x?14y?9?0的中心、主方向与主轴。 解：二次曲线的中心满足方程组：
?5x?3y?9?0,31有唯一解(?,)，这就是中心。 ?22??3x?5y?7?0,二次曲线的矩阵
?5?A??3???9?35?79???7， ?9??5?3?355?16?0,I3??39?35?79?7?16.
2不变量I1?10,I2?9特征方程：?2?10??16?0，所以特征根是?1?2,?2?8. 特征根?1?2对应的主方向满足：
?3X?3Y?0,所以主方向为X:Y?1:1,?3(1,1)?2,相应的主轴是???3x?3y?0,2(x?y)?2?0,即x?y?1?0.
特征根?2?8对应的主方向满足：
??3X?3Y?0,所以主方向为X:Y?1:(?1),?3(1,?1)?16,相应的主轴是??3x?3y?0,?8(x?y)?16?0,即x?y?2?0.
11.已知曲线xy?y2?2x?3y?1?0的一条直径与y轴平行。求这条直径的方程，并求出它的共轭直径。
解：曲线的矩阵是
??0?1A???2???1??12?132??1??03?，不变量I2??21?2?1???12?1??14?0,所以任何方向X:Y都有共轭
的直径：
12Y2x?(12X?Y)y?(?X?32Y)?0.与y轴x?0平行的直径应满足
X?Y?0,即X:Y?2:1，所以直径方程是x?1，直径的方向是X:Y?0:1，与
12x?y?32?0,即x?2y?3?0.
该直径共轭的直径是
2.
通过两点(0,1)和(1,0)的二次曲线?，以两直线x?2y?1?0,2x?y?1?0为其一对共轭直径，求?的方程。
解：因为曲线关于直径在其共轭方向上具有对称性，所以如果以共轭直径为仿射坐标轴，则曲线的方程为ax?2?by?2?c，这相当于用仿射坐标变换?因而曲线的方程可设为
22a(x?2y?1)?b(2x?y?1)?c,
?x??x?2y?1?0,?y??2x?y?1?0,的结果，
22??a(?2?1)?b(?1?1)?c,将点(0,1和所以)(1,0)代入上述方程，则有?22??a(1?1)?b(2?1)?c,a?b,c?9a，故所求曲线的方程是(x?2y?1)?(2x?y?1)?9.
22
习题4.6
1.写出下列二次曲面在已知点处的切平面和法线的方程： （1）x2?y2?z，点(1,2,5);
（2）x2?y2?z2?4xy?4xz?4yz?2x?2y?18?0，点(1,2,3). 解：（1）点(1,2,5)在曲面x2?y2?z上，
F1(x,y,z)?x,F2(x,y,z)?y,F3(x,y,z)??F1(1,2,5)?1,F2(1,2,5)?2,F3(1,2,5)??1212
切平面方程是1(x?1)?2(y?2)?法线方程是
x?1?y?2?z?512(z?5)?0，即2x?4y?z?5?0.
.
24?1（2）F(1,2,3)??6,点(1,2,3)不在曲面上，所以过点(1,2,3)有曲面的切锥， F1(x,y,z)?x?2y?2z?1,F2(x,y,z)??2x?y?2z?1,F3(x,y,z)??2x?2y?z,
F1(1,2,3)??8,F2(1,2,3)??5,F3(1,2,3)??3,
切锥方程是
[?8(x?1)?5(y?2)?3(z?3)]?6[(x?1)?(y?2)?(z?3)2222?4(x?1)(y?2)?4(x?1)(z?3)?4(y?2)(z?3)]?0,
即70x2?31y2?15z2?56xy?24xz?6yz?324x?198y?126z?549?0. 2.在曲面x2?2y2?3z2?2xy?2xz?4yz?8?0上求一点，使曲面在该点的切平面平行于某一坐标面。