数值分析习题选编及参考解答
PART I 习题
习题一
121. 设
S?gt2， 假定 g是准确的，而对t的测量有?0.1秒的误差，证明当
t增加时S的绝对误差增加，而相对误差却减少。
2. 设
a?x?bf(x)?C[a,b]且 f(a)?f(b)?0，求证：
18(b?a)maxf(x).a?x?b2''2maxf(x)?
xx3. 在?4?x?4上给出f(x)?e的等距节点函数表，若用二次插值求e的近似
值，要使截断误差不超过10，
?6 问使用函数表的步长h应取多少？
4. 求
f(x)?x2在［a,b］上的分段线性插值函数 Ih(x)，并估计误差。
5. 已知单调连续函数y?f(x)的如下数据
－0.11 －1.23 －0.10 1.17 1.58 0.00 1.50 1.80 xif(xi) 用插值法计算x约为多少时 f(x)?1.（小数点后至少保留4位）
6. 设函数f(x)在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值法求一个次数不高于3的多项式 P3(x)， 使其满足
P3(0)?0，P3(1)?1，P3'(1)?3,P3(2)?1
并写出误差估计式。
7、利用Remez算法，计算函数 f(x)?sin?x，在区间[0，1] 上的二次最佳一致逼近多项式 p2(x)（要求 精度为0.0005）. 8、给定
f(x)?x?x?1，试利用最小零偏差定理，即切比雪夫多项式的最小零
43偏差性质，在[0,1]上
求f(x)的三次最佳一致逼近多项式。
(T2(x)?2x?1,T3(x)?4x?3x,T4(x)?8x?8x?1)2342
?1?span?1,x?,?2?span?x1009、设
2,x101?，分别在?、?12上求一元素，使其为
x?C[0,1]的最佳平方
逼近，并比较其结果。
10、用最小二乘法求一个形如
计算均方误差。
xiy?a?bx2的经验公式，使它与下列数据拟合，并
19 19.0 25 32.3 31 49.0 38 73.3 44 87.8 yi
11、用格拉姆－施密特方法构造正交多项式求f(x)?sin?x在［0，1］上的二次最佳平方逼近多项式。（参 考讲义与参考书） 12、求
f(x)?ex在［－1，1］上的三次最佳平方逼近多项式。（参考讲义与参考
书，利用Legendre正交多项式）
13、编出用正交多项式(格拉姆－施密特)作最小二乘拟合的程序或框图。
14、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数进度。 1）?h?hf(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h);
2h2）??2hf(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h);
(x)dx?f(?1)?2f(x1)?3f(x2)3）
?1?1f3;
f(h)]2''4）?h0f(x)dx?h[f(0)?2?ah[f(0)?f(h)].
15．用下列方法计算积分?3dy1y，并比较结果。
1）龙贝格方法； 2）三点高斯公式；
3）将积分区间分为四等分，用复化两点高斯公式。
?1116. 建立高斯型求积公式
0xf(x)dx?A0f(x0)?A1f(x1)。（参考讲义与参
考书）
习题二
1. 用矩阵的直接三角分解法（LU分解）解方程组
?1?0??1?0 ?012120400??1?3??3??x1??5?????x3?2?????x3??17??????x4???7??。
2. 矩阵第一行乘以一数，成为
?2?A???1
???1?,
??? 证明：当
23时，cond(A)?有最小值。
?1?A?2???00223. 设有方程组AX?b，其中
?1??1??2??2??1?????11??,1,b??X??????3??3?2??????20?????????3??已知它有解??。