11．已知x?(1Hx??x201),y?e1,构造一个
THouseholder变换矩阵H，使得
e1。
T解： 取
H?I?2vv,v?(x?x2e1)/x?x2e12，
而
x?x2e1?x?2e1?(1?201),T
T其2－范数
x?x2e12??1?2v??4?22,??4?22 所以
0?1?4?22??，
Householder变换矩阵H
????H???????为
1?2?01?2?22012202???2?2??0?1?2??2?2?。 1?习题三
x?x?1?0在x0?1.5321. 为求方程 附近的一个根，设将方程改写成下列等价形
式，并建立相应的迭代公式。
4）
x?1?1x2,迭代公式
xk?1?1?1xk2;
5）
32x?1?x,迭代公式xk?1?31?xk;2
6）
x?21x?1,迭代公式
xk?1?1xk?1.
试分析每种迭代公式的收敛性。 解：?1.4?1.4?1??0.216?0321.5?1.5?1?0.125?0?[1.4,1.5]为有根区间。
321)x?1?1/x2?(x)?1?1/x22?(x)??'2x3?21.43?0.73?1?迭代公式xk?1?1?1/xk收敛。2
2'2)x?1?x32?(x)?331?x22－12?1.52?(x)?（1?x）3?2x?/(1?1.0)3?0.63?133?迭代公式xk?1?1x?11?xk收敛。1x?11xk?112?323)x?2?(x)??(x)??'(x?1)?(1.5?1)2?32?1.4?1?迭代公式xk?1?发散。
x??(x)[a,b]2. 已知在区间
内只有一根，而当a?x?b时，
?(x)?k?1,'试问如
何将x??(x)化为适于迭代的形式？
将x?tgx化为适于迭代的形式，并求x?4.5（弧度）附近的根。
解：由反函数微分法则有 (?'－1(x))?''1?'(x)1 故当 ?(x)?k?1时，有 (? 将x??(x)?x???1－1(x))???'(x)?1.?1(x)xk?1???(xk)(k?0,1,?)
则迭代法是收敛的。 对 x?tgx?x???arctgxxk?1???arctgxk(5) 用搜索法知在[4.45,4.50]内有根，取x0?4.45迭代，x?4.49341。
3. 能不能用迭代法求解下列方程，如果不能时，试将方程改写成能用迭代法 求解的形式。 （1）
x?(cosx?sinx)/4; （2）x?4?2.
x
解: (1) ?(x)?(cosx?sinx)/4,对所有的x,有
?(x)?'?sinx?cosx4?24?12?1
x 故能用迭代法求根。
x （2）方程为x?4?2?0.设f(x)?x?4?2,则f(1)?0,f(2)?0,故有根区间
为［1，2］。
?(x)?4?2,?(x)??2ln2?2ln2?1.36829?1,x'x由代。
故不能用
xk?1?4?2xk来迭
将原方程改写为x?ln(4?x)/ln2,此时，?(x)?ln(4?x)/ln2,
?(x)?'?14?xln2?1?14?2ln2?1?12ln2?1，故可用迭代公式
xk?1?ln(4?xk)ln2来求
解。
4．用梯形方法解初值问题
?y'?y?0;?y(0)?1, ?
证明其近似解为解
y?e?x?2?h?yn???,?2?h?并证明当h?0n时，它收敛于原初值问题的准确
.
证：梯形公式为yn?1?yn?由f(x,y)??y?yn?1?yn?h2h22[f(xn,yn)?f(xn?1,yn?1)](?yn?yn?1)yn?1?2?h???????2?h?n?1?yn?1?2?h??2?h???y??n???2?h??2?h??2?h??yn????2?h?ny0
因 y0?1,.用上述梯形公式以步长h经n步计算到yn,故有nh?x.??2?h?limyn?lim??h?0h?0?2?h?nx?2?h??lim??h?0?2?h?h?e?x
5. 写出用四阶经典的龙格—库塔方法求解下列初值问题的计算公式：
?y'?x?y,1)??y(0)?1;0?x?1;?y'?3y,0?x?1;?(1?x)2)???y(0)?1.
解：令h?0.2?k1?f(xn,yn)?xn?yn ?hhhh?k2?f(xn?,yn?k1)?xn??yn?k1?1.1(xn?yn)?0.1 ?22221)??k?f(x?h,y?hk)?x?h?y?hk?1.11(x?y)?0.113nn2nn2nn?2222?k?f(x?h,y?hk)?x?h?y?hk?1.222(x?y)?0.222nn3nn3nn?4 yn?1?yn?h6(k1?2k2?2k3?k4)?0.2214xn?1.2214yn?0.02142)?k1?3yn/(1?xn)??k2?3(yn?0.1k1)/(1?xn?0.1)??k3?3(yn?0.1k2)/(1?xn?0.1)?k?3(y?0.2k)/(1?x?0.2)n3n?40.26(k1?2k2?2k3?k4).
yn?1?yn?
6. 证明对任意参数t，下列龙格－库塔公式是二阶的：
h?y?y?(K2?K3);n?n?12???K1?f(xn,yn);?K?f(x?th,y?thK);2nn1??K3?f(xn?(1?t)h,yn?(1?t)hK1). ?
证：由一元函数的泰勒展开有y(xn?1)?y(xn)?hy(xn)?'h22[f(xn,y(xn))?f(xn,y(xn))f(xn,y(xn))]?h2(K2?K3)?yn?''x'yy(?n)3!''''h3又由二元函数的泰勒展开有 yn?1?yn?'2h2[(f(xn,yn)?fx(xn,yn)th?'2fy(xn,yn)thf(xn,yn)?O(h))?(f(xn,yn)?fx(xn,yn)(1?t)h?fy(xn,yn)(1?t)hf(xn,yn)?O(h))]?yn?hf(xn,yn)?h22[fx(xn,yn)?fy(xn,yn)f(xn,yn)]?O(h)''3为考虑局部截断误差，设yn?y(xn),上式有yn?1?yn?hf(xn,y(xn))?h22[fx(xn,y(xn))?fy(xn,y(xn))f(xn,y(xn))]?O(h)3''3比较y(xn?1)与yn?1两式，知其局部误差为 Rn?1?y(xn?1)?yn?1?O(h)故对任意参数t，公式是二阶的。
7. 导出具有下列形式的三阶方法：
yn?1?a0yn?a1yn?1?a2yn?2?h(b0yn?b1yn?1?b2yn?2)'''
解： 假设 yn?y(xn)则y(xn?1)?a0y(xn)?a1y(xn?1)?a2y(xn?2)?h[b0y(xn)?b1y(xn?1)?b2y(xn?2)]将y(xn?1)在xn处展开yn?1?(a0?a1?a2)y(xn)?(?a1?2a2?b0?b1?b2)hy(xn)?(a1?4a2?2b1?4b2)h2''''2!y(xn)?(?a1?8a2?3b1?12b3)4''h33!y(x3)'''?(a1?16a2?4b1?32b2)h4!y(4)(xn)?O(h)5?a0?a1?a2?1???a1?2a2?b0?b1?b2?1该公式的三阶方程为 ??a1?4a2?2b1?4b2?1??a?8a?3b?12b?11213?取任一组满足方程组的参数均可。