（2）若数列{an}满足an+1=f′（an），且a1=4，求数列{an}的通项公式； （3）在（2）条件下，若bn=n?2
n+1
，Sn=b1+b2+…+bn，是否存在自然数M，使得当n
＞M时n?2﹣Sn＞50恒成立？若存在，求出最小的M；若不存在，说明理由．
考点： 数列与函数的综合；数列的求和． 专题： 综合题；等差数列与等比数列．
分析： （1）利用二次函数f（x）=ax+bx+c的图象通过原点，对称轴为x=﹣2n，（n∈N）．f′（x）是f（x）的导函数，且f′（0）=2n，可求f（x）的表达式（含有字母n）； （2）利用叠加法，求出数列{an}的通项公式； （3）利用错位相减法求和，即可得出结论． 解答： 解：（1）由已知，可得c=0，f′（x）=2ax+b，…（1分） ∴b=2n，
=2n，解之得a=，b=2n …（3分）
2
2
*
∴f（x）=x+2nx …（4分）
（2）∵an+1=f′（an）=an+2n，…（5分）
2
∴an=（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=2（1+2+…+n﹣1）+4=n﹣n+4 …（8分） （3）∵an+1﹣an=2n ∴bn=n?2
2
=n?2，…（10分）
n
n
∴Sn=1?2+2?2+…+n?2，（1）
23n+1
2Sn=1?2+2?2+…+n?2，（2）
23nn+1
（1）﹣（2）得：﹣Sn=2+2+2+…+2﹣n?2，…（12分）
n+1n+1n+1
∴n?2﹣Sn=2﹣2＞50，即2＞52， ∴n≥5 …（13分）
∴存在自然数M=4，使得当n＞M时n?2﹣Sn＞50恒成立 …（14分）
点评： 本题考查数列与函数的综合，考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，正确求通项是关键．
21．已知函数f（x）=xlnx．
（l）求f（x）的单调区间和极值； （2）若对任意
恒成立，求实数m的最大值．
n+1
考点： 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题． 专题： 导数的综合应用．
分析： （l）求函数的导数，利用函数单调性和极值之间的关系即可求f（x）的单调区间和极值；
（2）利用不等式恒成立，进行参数分离，利用导数即可求出实数m的最大值． 解答： 解 （1）∵f（x）=xlnx，
∴f'（x）=lnx+1， ∴f'（x）＞0有 ∴函数f（x）在∴f（x）在
，∴函数f（x）在
上递减，
．
上递增，f'（x）＜0有
，
处取得极小值，极小值为
2
（2）∵2f（x）≥﹣x+mx﹣3
2
即mx≤2x?lnx+x+3，又x＞0， ∴令
，
，
令h'（x）=0，解得x=1或x=﹣3（舍）
当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，函数h（x）在（0，1）上递减
当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，函数h（x）在（1，+∞）上递增，
∴h（x）min=h（1）=4． ∴m≤4，
即m的最大值为4．
点评： 本题主要考查函数单调性和极值的求解，利用函数单调性，极值和导数之间的关系是解决本题的关键．将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决不等式恒成立问题的基本方法．