第二学期期末高数（下）考试试卷及答案1 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 21.设F?x???0tx2edt，则F??x???2xex2.
2.曲面z?sinx?cosy在点???,?,1??442?处 ?的切平面方程是
x?y?2z?1?0.
3.交换累次积分的次序：
?1?233?x0dy0f?x,y?dx??1dy?0f?x,y?dx
??23?x0dx?xf?x,y?dy.
24.设闭区域D是由分段光滑的曲线L围成,则：
使得格林公式：
????Q??x??P?dxdy?D???y???Pdx?Qdy
L 成立的充分条件是：
P?x,y?和Q?x,y?在D上具有一阶连续偏导数.
其中L是D的取正向曲线;
?5.级数???1?n3,3n?13n?1的收敛域是
n???.
二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1.当x?0，y?0时,函数
x2y3x4?y2的极限是
?D?
A.等于0; B. 等于13;
C. 等于14; D. 不存在.
2.函数z?f?x,y?在点?x0,y0?处具有偏导数fx??x0,y0?，
fy??x0,y0?是函数在该点可微分的?C?
A.充分必要条件; B.充分但非必要条件;
C.必要但非充分条件; D. 既非充分又非必要条件.
1
3.设z?ex?cosy?xsiny?，则dzx?1y?0??B?
A.e; B. C.
e?dx?dy?;
e?1?dx?dy?; D. ex?dx?dy?.
an?x?1?n?4.若级数?n?1在x??1处收敛,
则此级数在x?2处?A?
A.绝对收敛; B.条件收敛; C.发散; D.收敛性不确定. 5.微分方程 A. C.
y???6y??9y??x?1?e; B.
3x3x的特解
y?应设为
?D?
ae3x?ax?b?e3x;
x2x?ax?b?e; D.
?ax?b?e3x.
三.（8分）设一平面通过点
?3,1,?2?,而且通过
y?32?z1,求该平面方程.
直线
解：?x?45?A?3,1,?2?,B?4,?3,0? ?????AB??1,?4,2?平行该平面
??该平面的法向量n??5,2,1???1,?4,2???8,?9,?22?
?所求的平面方程为：8?x?3??9?y?1??22?z?2??0
即：8x?9y?22z?59?0
y四.（8分）设z?f?xy,e?,其中f?u,v?具有二阶连续偏导数,试求?x和?x?y.
?xy，v?e
y?z?z2解：令u?z?x?yfu
2
?z?x?y2???y?yfu??fu?yxfuu?efuv
x?y22?y?五.（8分）计算对弧长的曲线积分?eLds
?0,y?0
其中L是圆周x2?y?R22与直线x在第一象限所围区域的边界.
解：L?L1?L2?L3
L1：x?y?R222 其中：
?x?0,y?0?
L2：x?0?0?y?R? L3： y?0?0?x?R?
2??eLx?y2ds??eL1x?y22ds??eL2x?y22ds??eL3x?y22ds
而
?L1ex?y22?ds??20eRdt?R?2RRe
R
?L2eex?y22ds?ds?2?0Redy?eedx?exy?1 ?1
?L3x?y22?0RR 故：?eLx?y2ds??2Re?2eR?R?1
?4??六、（8分）计算对面积的曲面积分???z?2x?y?dS3???其中?为平面
,
x2?y3?z4?1在第一卦限中的部分.
?0?x?2?解：?Dxy：?3
?0?y?3?x?2
1?2zx?2zy?613
3
?????z?2x?4y??dS???461?
??3?Dxy3dxdy??2x40dx?3?320361dy?461, 七.（8分）将函数
f?x??1x2?4x?3,展开成x的幂级数.
解：?f?x??1?11?11112??3?x???x?6?,
?1?x?21?1?x3? 而
12?11?x?12???1?nxn,
??1,1? n?0?n
1?1???1?n6?
??3,3?
1?xn?03nx, 3??f?x?????1?n1?n?02?1?1?xn, ?3n?1???1,1?? 八.（8分）求微分方程：
?5x4?3xy2?y3?dx??3x2y?3xy2?y2?dy?0的通解.
解：??PQ?y???x?6xy?3y2,
?原方程为：
5x4dx?y2dy???(3xy2?y3)dx??3x2y?3xy2?dy????dx5?d1?33y3?d?x2y2?y3x??2?? ? ?d??x5?1?3y3?32x2y2?y3x???0 ?通解为：x5?12233y3?32xy?yx?C
4
x2x4x6x2n九.幂级数：
y?x??1?2!?4!?6!??????2n?!????
?x????,???
1.试写出
y?x??y??x?的和函数;（4分）
?2.利用第1问的结果求幂级数?x2n的和函数.（8分）
n?0?2n?!x52n?1解：1、
y??x??x?x33!?5!?????x?2n?1?!???? ???,??
2 于是
y?x??y??x??1?x?xx32!?3!?????ex
???,???2、令：S?x???x2nn?0?2n?!
由1知：S??x??S?x??ex 且满足：S?0??1
通解：S?x??e?x?C??exexdx??Ce?x?12ex
由S?0??1，得：C?12；故：S?x??1x?x2?e?e?
十.设函数
f?t?在?0,???上连续,且满足条件
f?t??112t1?t2?????f??x2?y?dv
t?其中?是由曲线?z?ty2t?0,绕z轴旋转一周而成的曲面
?x与平面z?t(参数t?0)所围成的空间区域。
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