22解法二: ?Lex?yds?
??RR（L的弧长）eR
Leds?e?L??2R解法三: 令x?Rcos?，y?Rsin?，0????2，
?x2?y2Leds?
? ??2eRRd???02ReR
七、(本题满分9分) 计算曲面积分???xdydz?zdzdx?3dxdy，其中?是柱面
?x2?y2?1与平面z?0和z?1所围成的边界曲面外侧．
解:
P?x,Q?z,R?3,
由高斯公式：???xdydz?zdzdx?3dxdy?
?
??????P?Q??????dv?????x?y??R?z?dv???八、(本题满分9分)
?求幂级数?nxn?1的收敛域及和函数．
n?1解: 收敛半径：R?limann??a?1
n?1 易判断当x??1时，原级数发散。
于是收敛域为
??1,1?
16
???
s?x???nxn?1?????1n?1??xn??n?1???x???1?x? ??1?x?2九、(本题满分9分) 求微分方程
y???4y?ex的通解．
解:特征方程为：r2?4?0
特征根为：r?2,r??2
y???4y?0的通解为：Y?C2x1e?C?2x2e
设原方程的一个特解为：
y??Aex,
?A?4A?ex?ex ?3A?1 A??13
?原方程的一个特解为：y???1x3e
故原方程的一个通解为：y?Y?y??C2x?2x1e?C2e?13ex十、(本题满分11分) 设L是上半平面?y?0?内的有向分段光滑曲线，
其起点为
?1,2?，终点为?2,3?，
记I???1??2x?L?xy2??y?dx???xy??y2?dy ?1．证明曲线积分I与路径L无关； 2．求I的值．
证明1:因为上半平面G是单连通域，在G内： P?x,y??xy2?12y，Q?x,y??xy?xy2
有连续偏导数，且：
17
?P?y?2xy?1，
?Qy2?x?2xy?1，
?P?Q。
y2?y??x 所以曲线积分I与路径L无关。 解2: 设A?1,2?，B?2,3?，C?2,2?，由于曲线积分I与
路径L无关，故可取折线路径：A?C?B。
I???21??2x?L?xy??dx??xy?
?y??y2?dy?????ACxy?1???2y?dx??x2y?x?2?dy?
???y?????CB?xy2?1?2x??y?dx???xy??y2?dy? ?
??2?1?13??4x?2?dx?4y?2?97???2?y2?dy?6
??
东北大学高等数学(下)期末考试试卷
2007.7.
一．选择题(4分?6=24分)
1、设a,b,c为非零向量，则(a?b)?c =[ ]．
(A) a?(b?c) (B) (b?a)?c (C) c?(a?b) (D) c?(b?a) . 2
函数z?f(x,y)在点(x0,y0)可微分的充分条件是f(x,y)在(x0,y0)处[]．(A)两个偏导数连续 (B)两个偏导数存在
(C)存在任何方向的方向导数 (D)函数连续且存在偏导数 18
．
3．设D:x2?y2?2x， f(x,y)在D上连续． (A)
??Df(x,y)d?=[ ]．
(B)
??0d??2sin?0f(rcos?,rsin?)rdr
?2?0d??2cos?0f(rcos?,rsin?)rdr?
f(rcos?,rsin?)rdr(C)
?2sin?0?2??2d??2cos?0 (D)
?2??2d??f(rcos?,rsin?)rdr
??4若级数?un与?vn都发散，则必有[ ]．
n?1n?1??n (A)
?(un?1?2n?vn)
发散 (B)
?(un?1?n?vn)
发散
(C)
?(un?1?v)
2n收敛 (D)
?(un?1n?vn)收敛
二、填空题(4分?6=24分) 1．直线
____________．
2．用钢板做体积为8m3的有盖长方体水箱．最少用料S=_____m2． 3．二次积分?dx?e?ydy的值是_____________．
0x112x?12?y?2?1?z3与平面x?y?2z?6?0的交点是
4．设
?为球面
x?y?z222?a(a?0)2，则
??(x??y)dS2=__________________．
32345．小山高度为z?5?x2?2y2．在(?_____________．
,?1,)处登山，最陡方向是
6．设f(x)为周期为2?的周期函数，它在[??,?)的表达式为
??1,???x?0， f(x)??x,0?x???若
f(x)的傅立叶级数的和函数为s(x)，则
19
s(?)?s(?2)=________________．
三、（10分）求过点(?1,2,3)垂直于直线
7x?8y?9z?10?0的平行的直线方程．
x4?y5?z6而与平面
四．（10分）将函数f(x)?收敛域。
1x2?4x?3展开成(x?1)的幂级数．并给出
五．（10分）计算三重积分???(x2?y2?x)dv? 其中?是由抛物面
?x2?y2?2z及平面z?5所围成的空间闭区域?
六．（10分）设L是由直线x?2y?2上从A(2,0)到B(0,1)一段及圆弧
x??1?y2上从B(0,1)再到C(?1,0)的有向曲线，计算
y?L(x?2y)dx?(3x?ye)dy2
七．（10分）计算曲面积分??x3dydz?y3dzdx?z3dxdy，其中?为球
?面x2?y2?z2?2az(a?0)
八．（10分）设u?f(x2?y2, z)，f具有二阶连续偏导数，而z?z(x,y)由方程x?y?z?e确定，求
z?u?x?y2。
高等数学参考答案 2007.7
一．选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分） 1、【解】应选择D。 c?(b?a)=c?(?a?b)=(?a?b)?(?c)=(a?b)?c 2．【解】应选择A。
fx(x,y),fy(x,y)在点P0(x0,y0)连续? z?f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微分
3。【解】应选择C。在极坐标下
20