则??xz2dydz?x2ydzdx?y2zdxdy???????
????0?0 而
????????z2?x2?y2?dv
???0?
??2??d??a2220d??200rrsin?dr?5?a5
???0
?0 故：??xz2dydz?x2ydzdx?y2zdxdy????????25????0?05?a
七.（8分）将函数
f?x??1x2?4x?3,
展开成
?x?1?的幂级数.
解：?f?x??1?12??1??1?x3?x??
?
?1x?1
4??1??1?8??2???1?x?1??4??? 而：
1?x?1??1???1?n?x?1?n
??1?x?3?
4?1?4n?02n?2??1?
?1???1?n
??3?x?5?
8??1?x?1?8n?04n?x?1?n ?4???f?x?????1?n?11?n?0?2n?2??22n?3???x?1?n ??1?x?3?八.（8分）求微分方程：
y???y?4xex的通解.
11
解：r2?1?0.?r1?1,r2??1.
?Y?C1e?C2ex?x.
x???1是特征方程的单根, 所以设 y*?x?Ax?B?e.
代入原方程得: A?1,B??1.?y*?x?x?1?e.
x故原方程的通解为: 九. （12分）求由曲面zy?C1e?C2e?22x?x?x?xe.
22?2?xx?y和z?6?x?y
所围成立体的体积.
?6?x2?y2?z?x2?y2?解：??：? ?0???2Dxy???0???2??
?V2????dv??2?0?d?0??d?26????dz32?? 3十. （10分）设 By?f?x?是第一象限内连接点A?0,1?，
?1,0?的一段连续曲线，M?x,y?为该曲线上任意
O为坐标原点。若梯形OCMA的面积与
一点，点C为M在x轴上的投影，
曲边三角形CBM的面积之和为
x66?13。试建立
f?x?所满足的微分方程，并求f?x?
12的表达式。
解：梯形OCMA的面积为：
x??1?f1x?x???
曲边三角形CBM的面积为：? 根据题意得：
f?t?dt
112x??1?f?x?????xf?t?dt?x36?13
两边关于x求导得：
12
112??1?f?x????2xf??x??f?x??122x
2 即：
f??x??1xf?x??x?1x
1dx1?? 故：
f?x??ex?x2?1??exdx?dx?C????x??x2?Cx?1
? 由：
f?1??0 ，得：C??2， 故：f?x???x?1?2
第二学期高数（下）期末考试试卷及答案3 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分)
1. 已知向量a????1,?1,4?,b??3,4,0?,则以a??,b
为边的平行四边形的面积等于
449.
2. 曲面z?sinxcosy在点???1??4,4,2?处
??的切平面方程是
x?y?2z?1?0.
3. 交换积分次序?20dx?2xf?x,y?dy??2ydyf,y0?0?x?dx.
?4. 对于级数?1＞0），当a满足条件
a?1时收敛.
n?1an（a5. 函数
y?12?x展开成x的幂级数
?为
?xn2n?1??2?x?2?.
n?0二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面x?2z?0的位置是 （ A ）
13
（A）通过
y轴 （B）通过x轴 y轴 （D）平行于xoz平面
（C）垂直于2. 函数z?f?x,y?在点?x0,y0?处具有偏导数
，
fx??x0,y0?fy??x0,y0?,是函数在该点可微分的
（
C ）
（A）充要条件 （B）充分但非必要条件
（C）必要但非充分条件 （D）既非充分又非必要条件 3. 设z?ex?cosy?xsiny?，则dzx?1?（ B ）
y?0（A）e （B）e(dx?dy)
（C）e?1(dx?dy) （D）ex(dx?dy)
?4. 若级数?a?x?1?nn在x??1处收敛，
n?1则此级数在x?2处（ D ）
（A）敛散性不确定 （B）发散 （C）条件收敛 （D）绝对收敛 5. 微分方程
y??xy?x的通解是（
D ）
1?e2x2?1?1 （B）y?e2x2（A）
y?1
12（C）
y?Ce?12x2x （D）
y?Ce2?1
三、(本题满分8分) 设平面通过点
?3,1,?2?，而且通过直线
x?4y?35?2?z1，求该平面方程．
解: 由于平面通过点A?3,1,?2?及直线上的点B?4,?3,0?，
? 因而向量AB??1,?4,2?平行于该平面。
14
?该平面的法向量为: n?(5,2,1)?(1,?4,2)?(8,?9,?22).
则平面方程为: 8(x?4)?9(y?3)?22(z?0)?0. 或： 8(x?3)?9(y?1)?22(z?2)?0. 即： 8x?9y?22z?59?0.
四、(本题满分8分) 设z?f?xy,x?y?，其中f?u,v?具有二阶连续偏导数，
?2试求
?z和z．
?x?x?y解:
?z?x?f1y?f2,
?2z?x?y???y?f1y?f2??
??f11x?f12?y?f1?f21x?f22?
?xyf11??x?y?f12?f1?f22
五、(本题满分8分)
计算三重积分
y????zdxdydz，
?其中
??x,y,z?0?x?1,?1?y?1,1?z?2?．
1解:
???zdxdydz??dxdyzdz?10?1z22?1?21?2??2?3
1六、(本题满分8分) 2计算对弧长的曲线积分??y2Lexds，
其中L是圆周x2?y2?R2在第一象限的部分．
解法一: ?x2?y2Leds?
??RRxRR0eRdx?ReRarcsinR2?x2R??02Re
15