1、将三重积分???f22??x?ydv?写成累次积分的形式;
t（3分）
2、试求函数
f?t?的表达式.（7分）
解：1、旋转曲面方程为：z?t?x2?y2?
?2 由?z?t?x?y2??，得：x2?y2?1
??z?t 故?2t在xoy面的投影区域为：Dxy：x2?y?1
????fx2?y2?dv??2?d??1t00?d??t?2f???dz
??t2、由1得：
f?t??1?12?1?tt1?t2??0?1??2?f???d??
?11t1?t2?2t?0??1??2?f???d?
记：A??120??1???f???d?
则：
f?t??12?2tA
t1?t 两边乘以：t?1?t2?，再在?0,1? 上积分得：
A??121201?tdt?2A?0t?1?t2?dt??4415?A 解得：A?1544?
故：f?t??1?15?t
t1?t222
第二学期期末高数（下）考试试卷及答案2
三、 填空题(每空 3 分，共 15 分)
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?z??y21. 曲线?，绕z轴旋转一周所得到的
?x?0旋转曲面的方程是
z???x2?y2??1.
?1?x?2.曲线?y?在点?1??1?,2,1?2?处
??z???y?1?2的法平面方程是2x?8y?16z?1?0.
3. 设z?f?x2?y2?,其中f?u?具有二阶连续导数,
2,则
?2且f??1??3，f???1??z?x2?14.
x?1y?0?4. 级数?n?2?n?1n?1n?，当?满足不等式
??12时收敛.
??n5.级数??x?1的收敛域是
n?12n?n??1,3?.
四、 单项选择题 (每小题3分,共15分)
1.设a??与b为非零向量,则a??b???0是?A?
? A. a??//b的充要条件; B. a??b的充要条件;
a??b? C. 的充要条件; D. a??//b的必要但非充分条件.
2.平面3x?3y?6?0的位置是?B?
A.垂直于z轴; B.平行于z轴; C.平行于xoy面; D. 通过z轴.
3.设函数
f?x,y???0当xy?0时?，
?1当xy?0时 7
则下列说法正确的是?C?
A.limfx?0?x,y?存在且f?x,y?在点?0,0?处的
y?0两个偏导数也存在; B.
limfx?0?x,y?存在但f?x,y?在点?0,0?处的
y?0两个偏导数不存在; C.
limfx,yx?0??不存在但f?x,y?在点?0,0?处的
y?0两个偏导数存在; D.
limfx?0?x,y?不存在且f?x,y?在点?0,0?处的
y?0两个偏导数也不存在;
4.曲线L为圆周?x?3cost? 0?t?2?,
?y?3sint则???x2?y2?nds等于?A?
LA. 2??32n?1; B.
9n?1??;
C.
6??3n; D.
12n?12n?1?3.
?5. 设正项级数?un收敛，则必有
?D?
n?1 A. limun?1?1; B. limnun??u??nn??n???1;
C.
limu?c?0; D. limun??nn?0.
n??三.（8分）在平面x?y?z?1上求一直线，
使得它与直线?y?1???1 垂直相交。
?z
8
解：方法1：
?y?1直线?的方向向量为?1,0,0?
?z??1它与平面x?y?z?1的交点为?1,1,?1?
所求直线通过这一点， 所求直线的方向向量为：?
S??1,1,1???1,0,0???0,1,?1?
故所求的直线方程为：
x?1?1?10?y1?z?1
方法2：直线?y?1?的方向向量为?1,0,0?
?z??1 它与平面x?y?z?1的交点为?1,1,?1?
所求直线通过这一点，
过交点?1,1,?1?且与直线?y?1?垂直的平面方程为：?z??1?x?1??0?y?1??0?z?1??0
即：x?1
故所求的直线方程为：?x?y?z?1??x?1
或：?y?z?0?x?1
?四.（8分）设z?z(x,y)是由方程 z3?3xz?y?0
所确定的隐函数, 求:
?z?z2?x，
和
?z，
x?0?yx?0?x?yx?0y?1y?1y?1 9
解：设F?x,y,z??z3?2xz?y，则：
Fx??2z，Fy?1，
Fz?3z2?2x，
当x?0，y?1时z??1，
?z?xx?0?(2z3z2?2x)x?0??2，
3y?1y?1?z?(?1?yx?03z2?2x)x?0??1，
3y?1y?1?2z2?4x，
?x?y?(6zx?0(3z2?2x)3)?2x?09y?1y?1五.（8分）计算曲线积分??1?xe2y?dx??x2e2y?y?dy
L其中L为从O?0,0?经?x?2?2?y2?4的上半圆到A?2,2?的一弧段。解：由
?P?Q?y??x?2xe2y 知与路经无关。
取B?2,0?，作新路经OBA折线，
于是：??1?xe2y?dx??x2e2y?y?dy
L??????2?22y0?1?x?dx?0?4e?y?dy
OBBA??4???2e4?4??2e4
六、（8分）利用高斯公式计算曲面积分??xz2dydz?x2ydzdx?y2zdxdy, ?其中?为球面：x2?y2?z2?a2的上半部分的上侧.
解： 作
?0：z?0 取下侧.
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