§4.3马氏链模型随着人类的进化，为了揭示生命的奥秘，人们越来越注重遗传学的研究，特别是遗传特征的逐代传播，已引起人们广泛的注意。无论是人，还是动、植物都会将本身的特征遗传给下一代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形成自己的基因对，由基因又确定了后代所表现的特征。本节将利用数学的马氏链方法来建立相应的遗传模型等，并讨论几个简单而又有趣的实例。马氏链（马尔柯夫链）研究的是一类重要的随机过程，研究对象的状态s(t)是不确定的，它可能取K种状态si(i=1,…,k)之一，有时甚至可取无穷多种状态。在建模时，时间变量也被离散化，我们希望通过建立两个相邻时刻研究对象取各种状态的概率之间的联系来研究其变化规律，故马氏链研究的也是一类状态转移问题。例4.6设某商店经营情况可能有三种状态：好（S1：利润丰厚）、一般（S2）和不好（S3：亏损）。根据统计资料，上月状态为Si，下月状态为Sj的概率为pij（i=1,2,3; j=1,2,3），0≤pij≤1例4.6中的关系既可用一转移矩阵表示
?p11?A??p21??p31p12p22p32p13??p23?p33??例4.7研究某一草原生态系统中物质磷的循环，考i+1时段状态状态转移概率虑土壤中含磷、牧草含磷、牛羊体内含磷和流失于S1S2S3S4系统之外四种状态，分别以S1，S2，S3和S4表示S1土壤含0.40.400.2这四种状态。以年为时间参数，一年内如果土壤中磷的磷以0.4的概率被牧草生长吸收，水土流失于系统S2牧草含0.10.30.60外的概率为0.2；牧草中的含磷以0.6的概率被牛羊磷i时段状吃掉而转换到牛羊体内，0.1的概率随牧草枯死腐败态S3羊体含0.700.20.1归还土壤；牛羊体中的磷以0.7的概率因粪便排泄磷而还归土壤，又以自身0.1的比率因屠宰后投放市S4流失系0001场而转移到系统外。我们可以建立一个马尔柯夫链统外来研究此生态系统问题，其转移概率列表于下：相应的转移矩阵为：
?0.40.400.2??0.10.30.60??M???0.700.20.1???001??0且Sj+1=SjM
首先，任一转移矩阵的行向量均为概率向量，即有（1）马氏链模型的性质完全由其转移矩（I , j=1,…,n）0?Pig?1n阵决定，故研究马氏链的数学工具是线性代数中有关矩阵的理论。（2）Pig?1（i=1,…,n）?j?1这样的矩阵被称为随机矩阵。常染色体遗传模型在常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一父体——母体的基因型个基因，形成自己的基因时，基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因A和a控制的，（A、AAAAAAAaAaaaa为表示两类基因的符号）那么就有三种基因对，记为AA，－－－－－－Aa，aa。AAAaaaAaaaaa000后AA1下面给出双亲体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成代Aa0表所示。10每种基因型的概率，如基因aa0001双亲随机结合的较一般模型相对比较复杂，这些我们仅研究型一个较简单的特例。