状态转移模型2 - 图文(8)

例4.12（竞赛问题）甲乙两队进行一场抢答竞赛，竞赛规则规定：开始时每队各记2分，抢答题开始后，如甲取胜则甲加1分而乙减1分，反之则乙加1分甲减1分,(每题必需决出胜负)。规则还规定，当其中一方的得分达到4分时，竞赛结束。现希望知道：（1）甲队获胜的概率有多大？（2）竞赛从开始到结束，平均转移的次数为多少？（3）甲获得1、2、3分的平均次数是多少？设甲胜一题的概率为p，（0

S0S1S2S3S4

S0?100?S1?1?p0pA?S2?01?p0?S3?001?pS4?00?000p000??0?0??p?1??将上式改记为标准形式T：

?I2?0???T????????R?S??其中

?1?p?R??0??00?p?0??0?, S??1?p0?p?1?p??00??p?0??计算F：

??100??0p????F???010???1?p0??001??01?p????0???1???p????p?1??0????0??1p?q1?pq??pp2?10??1?p?p?11???p?1令q=1-p，则

?1?pq1?F?q?1?2pq?q2?因为a2是初始状态，根据定理4，甲队获分为1，2，3分的平均次数为

q/(1?2pq)，1/(1?2pq)，p/(1?2pq)。又

?1?pq1?N?F?C?q?1?2pq?q2?p2??1????1p? ?1???q1?pq?1???p==

122(1?pq?p?p,q?1?p,q?q?1?pq)1?2pq122(1?2p,2,1?2q)1?2pq根据定理5，以a2为初始状态，甲队最终获胜的平均转移欠数为2/(1?2pq)。又因为，

?1?pq1?。qB?F?R??1?2pq?q2???1?p??1p? ?0?q1?pq???0pp20??0?p??3?(1?pq)p?p1??22?qp ??1?2pq?q3?(1?pq)p??根据定理6，甲队最后获胜的概率

b24?p/(1?2pq)2