最大剪应力理论可以表述如下：
在一定的变形条件下，金属的塑性变形只有当物体内的最大剪应力达到一定值时才有可能发生，这个数值视物体的种类而定，与应力状态无关。
假设任一负责应力状态?ij，如果主应力的大小次序尚未确定，则微元体内可能发生的最大剪应力不外是
?1??2?????122????3? ??23??2 （3-6）
2??3??1?????312?在这三对主剪应力中，无论何者最先达到某一定值，材料即开始屈服。但是，因为它们的代数和必须为零，所以同时达到此某一定值的主剪应力至多只能有两个（符号相反，绝对值相等），而第三个主剪应力必定为零。
又因为屈服准则与应力状态无关，确定此定值，可以利用一种最简单的应力状态，例如，通过单向拉伸。单向拉伸时，拉应力???s（?s为材料的单向拉伸屈服应力），金属即开始屈服。这时，最大剪应力
?max???02??s2 （3-7）
因此，在复杂应力状态下，只要三对主剪应力中，任何一个、至多两个的数值等于即开始屈服，于是最大剪应力理论乃可用数学公式表达如下
?s2，金属
?s?????122??s? （3-8） ????232??s?????312?用主应力表示，可以写作
??1??2??s?? ??2??3??s （3-9）
????3??1??s 最大剪应力理论虽然可以很简单地表述金属的屈服条件，但在实际问题中，应力分量是未知的，难以确切判断其大小次序，因而也就难以从以上三式中作出正确的抉择，给实际应用带来了困难。能否用一个统一的连续函数将以上三式加以概括？当然，这种概括是否正确，最终还必须通过实践
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的检验。
2.米塞斯准则
1913年，Mises从纯粹数学的观点出发，对Tresca准则提出了一个修正。他以主剪应力为坐标轴，将式（3-9）表示为一个正六面体，此六面体各棱边边长为?s，其重心恰为坐标原点，如图3-4所示。
图3-4 主剪应力等于常数的几何图形
因为三个主剪应力之和必须满足?12??23??31?0，该式代表通过原点与三个坐标轴成等倾角的平面。此平面与正六面体的交线为一正六边形，顶点A、B、C、D、E、F恰为正六边形中六条棱边的中点（图3-4）。满足Tresca准则的应力状态，其三个主剪应力都在这六条边上。换言之，此六边形即代表Tresca准则的图形。极易看出：此正六边形的边长为
?s2。
Mises提出：为了数学运算的方便，可用一连续曲线来代替这一正六边形。此连续曲线即正六边形的外接圆，其方程为
2???s?222????23??31????? ?12?2? (3-10)
???12??23??31?0式（3-11）中，第一式代表圆心为原点，半径为
?s2的圆球，第二式为通过原点与坐标轴成等
倾角的平面，式（3-11）为它们的交线。将主剪应力用主应力表示，式（3-11）变为
(?1??2)2?(?2??3)2?(?3??1)2?2?s2 (3-11)
Mises对Tresca准则作出以上修正的同时指出：当前（指1913年以前）对Tresca准则的试验验证，还只限于正六边形的六个角点，其余应力状态究竟如何尚待验证。虽然如此，他仍然认为Tresca准则是准确的而他的修正则是近似的。后来许多人的试验却证明：Mises准则更加接近韧性材料的实际情况。
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1924年，H.Hencky给出了Mises准则的物理意义：材料开始屈服时所吸收的弹性形变能为一常数。这就是所谓常数形变能量理论。即
U??常数
1937年，A. Nadai对Mises准则作了另一解释：材料开始屈服时其八面体剪应力为一常数。即
?8?常数
Mises准则的另一常用表述形式为：材料进入屈服时，等效应力等于单向拉伸屈服应力。即
??12[(?x??y)?(?y??z)?(?z??x)?6(?2222xy??2yz??122zx)]??s (3-12)
这就是А.А.Ильюшин提出的应力强度一定理论。这一理论，将复杂的应力状态与单向拉伸这种简单的应力状态直接联系了起来。等效应力既可作为各种应力状态的一种可比指标，又可将其理解为材料在复杂应力状态下塑性变形的变形抵抗力。这就给我们研究复杂应力状态下，应力与应变之间的关系提供了很大的便利。 3.3.2 各向异性屈服准则
为简单起见，只考虑每一点上具有三个互相垂直的对称平面的各向异性体；这些平面的交线叫做各向异性体的主轴。在整个试件中，这些轴的方向可能变动；例如，如果一个圆管在内压力下均匀膨胀而发展出各向异性，那么，三根主轴必须位在经向、周向和轴向上。从冷轧薄板中心处切出的金属条则是一个方向均匀的各向异性体；它和预期的一样，三根主轴是位于轧制方向，薄板平面内的横断面方向以及垂直于薄板平面的方向，即厚度方向。在一给定的单元体中的主轴，在继续变形的过程中亦会产生相对于单元体本身的变动，如在简单剪切的情形。
考虑某一具有三个相互垂直的各向异性状态主轴的特殊单元体，并取各向异性主轴为直角坐标轴。对各向同性材料来说，Mises准则是能够近似地描述屈服的。因此，对各向异性材科来说，最简单的屈服准则应当在各向异性程度趋于零时归转为Mises准则。因此，如果假定屈服准则是应力分量的二次式，则必须有以下形式：
2f(?ij)?F(?y??z)2?G(?z??x)2?H(?x??y)2?
222?2M?zx?2N?xy?1 (3-13) ?2L?yz其中F，G，H，L，M，N是瞬时各向异性状态的特征参量。因为，正如各向同性塑性理论一样，假定没有Bauschinger效应，所以不包含一次项。由于对称的要求，任何剪应力出现为线性的二次项也都被去除。最后，如果假定迭加静水应力不会影响屈服，则只有正应力分量的差才会出现。应当注
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意，只有当各向异性主轴是参考坐标轴时，屈服准则才具有这种形式；否则，此形式要改变，其改变方式可以从转换应力分量得到。
如果X，Y，Z是在各向异性的主方向上的单向拉伸屈服应力，则不难证明
111?1?G?H,2F???,?X2222YZX?1111? ?2?H?F,2G?2?2?2, (3-14)
ZXY?Y?1?F?G,2H?1?1?1.2?X2Y2Z2?Z显然，F，G，H之中只有一个可以为负，并且只有当各屈服应力相差很大时，这才有可能。同时，当X?Y而且只有这个时候，才有F?G，此外，还有两个类似的不等式。
如果R，S，T是相对于各向异性主轴的剪切屈服应力，那么 2L?由此可见，L，M，N是正的。
上述就是英国学者R.Hill所给出的各向异性屈服准则的一般形式。
要完全描述—个单元体中的各向异性状态，就需要知道各主轴的方位以及六个互相独立的屈服应力X，Y，Z，R，S，T的值。因为这一单元体以前是各向同性的，因此必须把屈服应力看成是机械处理和热处理的函数；—般说来，它们还将随变形的继续发展而变化。迄今还不能定量地把屈服应力和微观结构，例如和择优方位的程度联系起来，因此必须假定它们已由实验决定。 3.4 材料模型简介
111 (3-15) ,2M?,2N?222RST在复杂应力状态下材料的本构关系可归结为函数的关系
??f(?)或??f(d?) (3-16)
这种函数关系与材料性质和变形条件有关，而与应力状态无关。可以选择单向应力状态来建立这种函数关系，例如选择单向均匀拉伸、压缩及纯剪切等。这样建立的应力应变关系之间的函数关系是具有普遍意义的。
单向均匀拉伸或压缩试验是反应材料力学行为的基本实验。材料开始塑性变形时的应力即为屈服应力。一般材料在进入塑性状态之后，继续变形时会产生强化，这样屈服应力不断变化，不断更新的屈服应力即为后继屈服应力，这样可通过单向试验所记录的后继流动应力应变的规律来获得各种复杂变形条件下的应力应变规律。
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实验所获得真实应力-应变曲线一般都不是简单的函数关系。在解决实际塑性成形问题时，将试验所得的真实应力-应变曲线表达成一下几种简化形式。
1、考虑材料的硬化 （1）弹塑性硬化模型
? 图3-5 弹塑性硬化模型
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（2）刚塑性硬化模型
? 图3-6 刚塑性硬化模型
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2、不考虑材料的硬化 （1）理想弹塑性模型
? 图3-7 理想弹塑性模型
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（2）理想刚塑性模型
? 图3-8理想刚塑性模型
?
在考虑材料的硬化行为时，对屈服后的曲线可以选择不同的硬化曲线描述，为了便于使用函数描述这段曲线形式，通常可以简化为几种函数形式，如幂指数函数形式Y?B?，线性硬化曲线
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