3.8 轴对称薄板自由胀形解析
3.8.1 轴对称薄板自由胀形的几何和力学特点
纵观塑性理论的研究历史，试验研究或实验验证的方法除单向拉伸、单向压缩外，多是采用薄壁管拉扭复合加载和薄板自由胀形，而对于复杂应力状态下的塑性理论问题，必须采用后两种试验方法。如图3-15所示，轴对称薄板自由胀形具有下列明显的特点：
图3-15 轴对称薄板自由胀形示意图
1）由于是轴对称问题，胀形前毛坯又是平板，所以仅用一个径向坐标r就可完整地描述质点的几何位置。
2）胀形开始后，平板毛坯变为空间壳体，但由于是轴对称问题，胀形轮廓和质点的运动轨迹均可表示在一个子午剖面内，如图3-13所示。质点的位置可用瞬时坐标?和w表示，也可用?和?表示，还可用?和?r表示。后两种均为间接表示。胀形极点高度是时间的单值函数，H?H(t)，因此可作为胀形时间的间接度量参数。
3）薄板胀形时表面积的增加靠板厚的不均匀变薄来补偿，变形区是确定的。即为直径为2r0的原始毛坯。板面内是双向伸长应变，板厚方向是压缩应变。应变主轴的方向是随胀形过程的进行而不断变化的。但由于是轴对称问题且受力状态简单（见后述），应变主轴的方向与胀形轮廓的变化有明确的关系，即质点所在位置胀形轮廓子午剖面的切线方向?、法线方向n及周向?是三个应变主方向。如图3-13所示，可以三个主轴建立随动坐标，其位置由(?,w)确定，其空间方位由?确定。由此可见，求解薄板自由胀形的变形过程，最终就是要确定质点的瞬时坐标与原始坐标及胀形高度之间的关系，即
???(r,H)，w?w(r,H) (3-75)
将上两式联立消去H，便可得到表示胀形中质点运动轨迹的方程
f(?,w,r)?0 (3-76) 若是联立消去r，便可得到不同胀形高度时的胀形轮廓方程
g(?,w,H)?0 (3-77)
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由式（3-77）又可确定随动坐标的空间方位 tan????w (3-78) ?? 4）由上述分析可知，以随动坐标表示的三个应变主轴中，?主轴的方向始终不变，?和n两个主轴随胀形轮廓的变化而在子午剖面内改变方向。应变速率的概念是应变分量对时间的变化率，由于是轴对称问题，?方向必定也是应变速率的一个主方向，且该主方向始终不变。对于薄板问题，厚度方向必定是应变速率的另一个主方向。根据张量的性质，第三个应变速率主方向则必定是胀形轮廓子午剖面的切线方向。所以，薄板自由胀形过程中，质点的应变主轴和应变速率主轴始终是重合的。
5）薄板自由胀形的受力状态简单，唯一的外载荷是均布的胀形压力p，不存在摩擦因素。塑性成形中的摩擦无论是理论研究还是实测方法均不完善。自由胀形避免了摩擦影响，质点的应力状态仅决定于材料本身的性质和胀形压力。薄板问题又可作为平面应力考虑，所以，薄板自由胀形无疑是板面内的双向拉应力状态。考虑到问题的轴对称性，图3-13中的随动坐标同时也是质点应力状态的主轴坐标。至此可得结论：薄板自由胀形过程中，应变主轴，应变速率主轴及应力主轴三者始终重合。
3.8.2 轴对称薄板自由胀形解析的理论基础
如图3-13所示，为了与作者以往的研究尽量保持一致，变形质点的原始坐标、瞬时坐标及其它有关参数均按原来的符号给出。尽管此处引入了表明质点应变、应变速率及应力主轴的随动坐标
?、?、n，但为了统一，上述三个张量主分量的脚标仍延用r、?和s来表示。凡是以前做过的推
导，此处不再重复，直接给出结果。
1.轴对称几何方程
变形前位于A处的质点，变形后位于B点，如图3-13所示，根据对数应变的定义及几何关系可得切向应变
2??22??w??????????w??? (3-79) ?r?ln??????ln1??????r?????r???r???????由式(3-78)又有
???1? ?r?ln????rcos??? (3-79')
??周向应变及法向应变由基本概念直接给出
31
???ln?s?ln2.轴对称平衡方程
（1）轴向平衡（推导从略）
?r (3-80)
s (3-81) s0?r?w???w?psin???2?r??2???1????s?????????????1?2?2 (3-82)
（2）切向平衡（推导从略）
?(s??r)?s???0 (3-83) ??
（3）法向平衡 法向平衡方程即为无矩薄壳理论中著名的拉普拉斯方程（推导从略）
?r??p?? (3-84) ?r??s其中?r和??为胀形轮廓子午剖面B点处的曲率半径和胀形轮廓过随动坐标n轴并垂直于子午面的剖面上B点处的曲率半径。它们分别为
?r???1 (3-85) ???cos????3.物理方程
?sin? (3-86)
（1）塑性流动理论 对于轴对称平面应力问题，根据R. Hill关于各向异性材料的经典塑性理论，考虑面内同性，厚向异性时应有
?r???????? (3-87) ??r?其中 R―板材的厚向异性系数。
R??1?R???R?r1?R22???r????2R?r?? (3-88) 1?R2R?r??? (3-89) ?1?R???1?R1?2R22?r?????? 32
此外 ??1?R1?2R2?r2????2R?r?? (3-90) 1?R?、??和?分别为等效应力，等效应变速率和等效应变。
经典塑性理论认为，塑性变形时应力张量主轴总是与应变增量张量（或应变速率张量）主轴重合的，复杂应力状态下应力张量主轴不一定与全量应变张量的主轴重合。如前所述，轴对称薄板自
?ij和?ij三个张量的主轴始终重合。此时，等效应力?与等效应变速率??之间或等由胀形时，?ij、?效应力?与等效应变?之间的关系满足单向拉伸时的本构方程。
（2）超塑性材料单向拉伸时的本构关系 超塑性材料是应变速率敏感的，描述其本构关系最常用的是Backofen方程
?m (3-91) ??KB?式中 KB—材料常数；
M—应变速率硬化指数。
（3）常规塑性材料单向位伸时的本构关系 常规塑性材料是应变敏感的，常用Hollomon 公式来描述
??KH?n (3-92)
式中 KH—材料常数；
n—为应变硬化指数。
（4）考虑两种敏感性并存时的本构关系 Rosserd 的粘塑性方程考虑了两种硬化并存
?m (3-93) ??KR?n?3.8.3 主应力之比与胀形轮廓之间的关系
由式(3-82)可知
?r??1?p (3-94) 2sin?s?22sin??p
所以 s??r? 33
??s??r?p1???2sin2?????2??2?sin???cos??? ???? ?p????????2??co?s? 2sin??sin???????????s?r?2??? ?r??代入式(3-83)可得
???2?N (3-95) ?r其中N???为胀形轮廓两个主由率半径之比，它仅与胀形轮廓的几何形状有关，是标志胀形轮廓几?r何形状的特征参数，是瞬时坐标?的函数。当N?1时，胀形轮廓为球壳。
???w?w??cos2? 因为tan???，所以，再将式(3-85)和(3-86)代入式(3-95)则得
??????2???F??,H??r (3-96)
??2w??22其中 F??,H??2?N?2?2?w???w???1???????????????? (3-97)
式(3-96)及式(3-97)与作者求解超塑自由胀形时按位移求解所导出的结果完全相同，但此处的推导更为简单。
另一方面，由式(2-82)及式(2-86)还可得
?p?2r (3-98) s??将式(3-98)代入式(3-84)也可得到式(3-95)，而且推导更为简单。这便是T.C.HSU等人采用的方法。 综合上述分析，可得以下几点结论：
1）(3-82)－(3-84)所给出的三个薄板自由胀形平衡方程并不完全独立；
2）两个主应力分量成比例，比例系数仅与胀形轮廓的几何形状有关，而胀形轮廓与材料性质有关；
3）定义轮廓形状特征参数N???有两个优点：第一，直观地给出胀形轮廓的几何特点 ?r 34