?Fd?x?Gd?y?dc?(FG?GH?HF)(?x??y)??Gd?y?Hd?z?dc?(FG?GH?HF)(?y??z) ??Hd?z?Fd?x?dc?(FG?GH?HF)(?z??x)将该三式和式（3-24）的后三式等号两边取平方再乘以相应的各向异性参数，使其等号右侧的应力分量平方项与等效应力定义式（3-25）的对应项相同，即
?H(Fd?x?Gd?y)2?(dc)2(FG?GH?HF)2H(?x??y)2??2222?F(Gd?y?Hd?z)?(dc)(FG?GH?HF)F(?y??z) ?2222G(Hd??Fd?)?(dc)(FG?GH?HF)G(???)?zxzx?2?2d?yz2?(dc)2?2L?yz??L2??2d?zx2?(dc)2?2M?zx ?M?2?2d?xy2??(dc)2?2N?xy??N将上述六式中的前三式除以(FG?GH?HF)后再将该六式相加，并应用式（3-25），可得
2F(Gd?y?Hd?z)2?G(Hd?z?Fd?x)2?H(Fd?x?Gd?y)2(FG?GH?HF)22d?yz2
?L222d?xy2d?zx2???(dc)2?(F?G?H)?2 MN3由此得到等效应变增量的定义式为
2d??(F?G?H)2?
312222?22??Gd??Hd??22d?yz2d?xy?Fd?x?Gd?y?Hd?z?Fd?x?2d?zx?yz???G?? ?F???H???FG?GH?HF??L?M?N? (3-26) FG?GH?HFFG?GH?HF??????????1进而得到dc的表达式为
dc?代入式（3-24）则得
31d? (3-27) ??2F?G?H? 15
?3d??HG?d???(???)?(?x??z)?y?x2??F?G?HxF?G?H????3d??FH?(???)?(???)?d?y??yzyx?2??F?G?H?F?G?H???3d??GF?d???(???)?(???)?zxzy??z2??F?G?HF?G?H?? (3-28) ??3d?Ld?????yz?yz2?F?G?H?3d?M?d?????zx2?F?G?H?zx?N?d??3?d???xyxy?2?F?G?H?当L?M?N?3F?3G?3H时，各向异性流动理论完全退化为各向同性塑性理论中的Levy-Mises塑性流动方程，即
??d?ij?d??ij其中
3d?? (3-29) ??ij2???12?(?x??y)?(?y??z)?(?z??x)?6(?2222xy??2yz??122zx)? (3-30)
12222222d??(d?x?d?y)?(d?y?d?z)?(d?z?d?x)?6(?xy??yz??zx)2 (3-31)
3??3.5.4 面内同性厚向异性薄板的平面应力问题
1.屈服准则
设?s为板材的面内单向拉伸屈服应力；?ts为板材的厚度方向单向拉伸屈服应力；?s为板材的
面内剪切屈服应力。因为面内同性，即F?G，所以X?Y??s，另外有Z??ts，T??s。将平面应力条件和面内同性条件代入式（3-14），得
2222f(?ij)?(G?H)?x?2H?x?y?(F?H)?y?2N?xy?1 (3-32)
由式（3-32）和式（3-15）可得
2?x?2H2N122?x?y??y??xy??X2 G?HG?HG?HHH ? （3-33）
GF16
令 r?
称之为板厚方向性指数，或简称为厚向异性系数。因为N?F?2H，
2?x?N2H?1??1?2r，所以 FF2(1?2r)22r2?x?y??y??xy??s2 (3-34) 1?r1?r2r2?1?2??2??s2 (3-35) 1?r在主轴坐标下
?12?Z2G?H1?r11此外，因为 2?G?H，2?F?G，所以 2?，即 ?F?G2XZX1?r?s (3-36) 2????1 (3-37) ?2?ts???ts 或 r?2????s该式表明：r值虽然由应变比定义引入，但它本质上反映的是面内同性厚向异性板材面内屈服应力与厚向屈服应力的差异。当r?1时，为各向同性材料。
T2G?HG?H1?r1又因为 2N?2，所以 2?，即 ??2N2(F?2H)2(1?2r)XT?s?1?r?s (3-38)
2(1?2r)可见，对于平面应力状态下的面内同性厚向异性薄板成形问题，不仅屈服准则大大简化，而且四个试验参数X、Y、Z、T减少为两个板材性能参数?s和r，它们均可通过一个单向拉伸试验获得，避免了试验确定?ts和?s所遇到的困难。
当r?1时为各向同性板材，此时，?s?13?s。
式（3-34）和（3-35）给出了平面应力条件下面内同性厚向异性薄板的屈服准则。图3-9所示为在主轴坐标下按式（3-35）作出的厚向异性薄板的屈服轨迹——椭圆族，明显地表示出了厚向异性对于材料屈服的影响：材料的厚向异性系数r愈大，椭圆的长轴愈长，短轴愈短，所以r值大的材
17 图3-9 厚向异性对薄板屈服轨迹的影响
料不仅具有较强的变薄抵抗力，而且同号应力状态下变形抵抗力大，所以拉深时危险断面的强度高，而异号应力状态下变形抵抗力小，宜于剪切或拉深法兰区的变形。
经过变换，式（3-35）也可以用参数角?表示为
?scos(???)?????1sin2? ??cos(???)???s2?sin2??式中?为厚向异性参数角，??tan?111?2r。
参数角?可用以表示板面内的主应力状态。例如在0???当??0时，?1??2，为双向等拉应力状态； 当???时，
?2的象限内：
?2r，为平面变形应力状态； ?cos2???11?r当??当???2??时，?1??，?2?0，为单向拉伸应力状态；
时，?2???1，为纯剪应力状态。
?2其余象限可仿此类推。总之，如以AB为分界线，板材的应力状态在AB的右上方，当
??/2????/2时，就绝对值而言，拉应力大于压应力，应力状态以拉为主，板材的变形特点是厚
度减薄；在AB的右上方，当?/2???3?/2时，就绝对值而言，拉应力小于压应力，应力状态以压为主，板材的变形特点是厚度增厚。
2.应力应变关系
面内同性厚向异性薄板平面应力问题的应力应变关系可采用类似于本章第3节的方法获得。因
为N?F?2H?G?2H，由式（3-32）可知其加载函数为
1222f(?ij)?[(G?H)?x?2H?x?y?(F?H)?y?2N?xy]
22(F?2H)22H22???[?x??x?y??y??xy]
F?HF?H2(1?2r)22r22???[?x??x?y??y??xy]
1?r1?r其中，??下关系
1(F?H)为一材料常数。设厚向异性薄板的加载函数f(?ij)与等效应力?之间有以2f(?ij)?p?q
18
2q?p?x 沿x方向单向拉伸时，?y??xy?0，???x，则f(?ij)???x；沿y方向单向拉伸时，
12q?p?y?x??xy?0，???y，则f(?ij)???y。所以，p???(F?H)，q?2，等效应力可定
2义为
?f(?ij)?????p??1/q2??x?2(1?2r)22r2?x?y??y??xy (3-39) 1?r1?r 利用厚向异性薄板的屈服准则f(?ij)，由式（3-17）可得应变增量各分量为
?fr?d??dc?2?dc?(???y)x?x??x1?r???frd??dc?2?dc?(???x)y?y??y1?r? (3-40) ??x??y?d???(d??d?)??2?dc?xy?z1?r?1?2r?d??d??2?dc??xyxyyx?1?r? 式中2?dc可根据等比定理按如下方法推得。由式（3-40）有
d?yd?xy?2d?x?d?z?r??? rr?x??y1?2r?x??y?y??x?xy?2?r1?r1?r1?r1?r2?dc???d?2x222?d?y?rd?z?2d?xy?1/221/2
?2(1?2r)2?rrr222(???)?(???)?(???)??xy??xyyxxy221?r1?r(1?r)(1?r)??因为
(?x?rrr2 ?y)2?(?y??x)2?(???)xy1?r1?r(1?r)2r2rr2r4r2r22?[1??]??[1??]??[?]?x?y xy1?r(1?r)2(1?r)2(1?r)2(1?r)2(1?r)2?又因为
1?2r22r1?2r2(?x??y)???x?y 1?r1?r1?rd?x?d?y?d?z?0
22222d?x?d?y?rd?z?d?x?d?y?r(d?x?d?y)2
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