还有许多问题有待深入研究。由于几何尺寸与材料性质不均，实际板条加载失稳时产生分散性颈缩，?与应变比??其起始部位具有随机性。颈缩区内因应变速率??2的变化产生的强化效应，可获得颈?1缩区内亚稳定流动条件，决定了分散颈缩的范围大小与集中颈缩的出现时刻。 3.7.2 双向拉伸失稳理论 3.7.2.1 基本方程
根据R.Hill 的各向异性塑性理论，仅考虑厚向异性时有
d?1?d?2??d?3?d? ?RR?1?1??2?1?R?2?2?1?R?11?R其中 ???22R1?21?R?1?2??2 d??1?R1d?2R121?Rd?1d?2?d?22?2R? ???2d?，???2 1d?1则 ??1?2R???21?R??1 ?1?R?1?2R1?R???2d??1?R?R??d?1 ?1?R?1?2R?1?R???2??R?R??d?2 ??1?R?1?2R?1?R???21???d?3 由式(3-53)可得
d??????d???1???d?2 12?1?R?R?d?1???R?R?d?2
?1?R?1?2R?R???21?1?R?1?2R?R???21利用式(3-57a、b)除以上式，再用式(3-56)除以上式，注意到??1?2?，则有 25
(3-52) (3-53) (3-54) (3-55) (3-56) (3-57a)
(3-57b)
(3-57c)
1d????d??1?R?R??2?1?R??1?2R?????1?R?2?32?2?1?1?d?1? d?1 ????R?R??2?1?R?2??1??2R????1?R?32?2??d?2? (3-58) ?2d?2另一方面，设材料的应力应变关系符合幂次式
??K?n (3-59) 则很显然有下述关系
上述各式即为推导失稳应变的基本关系式。
1d?n?? (3-60) ?d??3.7.2.2 平板双拉的载荷失稳
平板受双向拉伸如图3-12所示。
P2
P1
a
P2
t
b
P1
图3-12平板双拉示意图
由应力、应变的定义可知
P1?bt?1?b0t0e??1?1 (3-61) P2?at?2?a0t0e??2?2 (3-62)
1.Dorn 准则 dP1?0 由式(3-61)可推得
d?1??1 (3-63) d?1将式(3-63)待入式(3-58)和式(3-60)，注意到d?2?d?2??d?1，化简则有
??R?R?d?1，且在简单加载时??Const，
1?R?R? 26
?1?R??dP1?0?2R???21?R?n (3-64)
1?R?R?1?2.Swift 准则 dP1?dP2?0 由式(3-61)和(3-62)可将此准则表达为
?d?1??1??d?1 (3-65) ?d?2???2?d??2将式(3-65)代入式(3-58)和式(3-60)化简可得
2R1????21?R3?dP1?dP2?0??1?4R?2R2?2?1????1?????2??1?R?????n (3-66)
此乃Swift理论给出的产生分散性失稳时的等效应变。 3.7.2.3 平板双拉的集中性失稳
双向拉应力状态?0???1?下的板料，其应变状态也有两种可能，如图3-13所示
拉－压状态：
?R???0
1?R拉－拉状态：0???1
d?2
??1 ??0
r 1?r
o
d?1
???
图3-13 双向拉应力对应的应变范围
在拉拉应变区不存在应变零线，失去了产生集中性失稳的前提，Hill的集中性失稳理论失效。1967年，波兰学者马辛尼克（Z. Morciniak）、库祖斯基（K. Kuczyski）为了解决准则与实际之间的分歧，提出了一种凹槽假说，文献中称为M－K理论，但此理论尚不完善。
在拉压应变区，集中性失稳产生的条件是：板面内必须存在一条应变零线，在这种条件下，板料厚度的减薄率（软化因素）恰好可由板料的强化率得到补偿，沟槽乃得以产生、发展。设沟槽的
27
方位是y，类似于式(3-51)的推导则有
d?y?d?1cos2??d?2sin2??0
??tan?1?d?11?tan?1? (3-67) d?2?由式(3-57)可得
1?R?1?R (3-68) R??1?R??tan?1 显然，平面应变状态时（??0，或??RR），??900，槽与1轴垂直。如果??0或??，1?R1?R即超过平面应变的双拉状态，式(3-67)无解。
当应力状态在单向拉伸和平面应变之间时（0???RR，?，板面内有应变零线???0）1?R1?R存在。当板料达到某一变形程度时，材料的强化率与厚度的减薄率恰好相等，沟槽――集中性失稳开始发生（Hill理论），此时
d????dt??d?3 (3-69) t将式(3-57c)和式(3-60)代入式(3-69)，即可得到产生集中性失稳时的等效应变
?1?R??j?3.7.3
1?2R???21?R?n (3-70)
1?? 理论成形极限图
?2?，??2，式(3-57)变为 ?1?1简单加载条件下，???1?R???2R???21?R??1 (3-71a)
1?R?R?1?2R???21?R??2 (3-71b)
??R?R?1??1?R????1?R?1??2R???21?R??3 (3-71c) 1?? 28
在拉－拉应变区，采用Swift理论导出的结果。将式(3-66)代入式(3-71a,b)得
??1f?f??,R???1?R??R??n???f??,R?????R??R??n?2f2R??1???2?1?R?f??,R?? (3-72) ?2???1?R??1?????1?1?4R?2R2?2????????1?R??????1???0,??R1?R 在拉－压应变区，采用Hill 理论导出的结果。将式(3-70)代入式(3-71a,b)得
???1?R?R?j1??n??????1?R??R??n ?j2?1R?????0???1?R,?R1?R???0在上两式中消去?则有
?j1??j2?n 这是一个直线方程。理论成形极限图如图3-14所示。
?2n 1.0 ??1 0.5 ??0 ?10 0.5 1.0 1.5 n -0.5 ???R1?R 图3-14 理论成形极限图
29
(3-73) (3-74)