导数与定积分在科学技术领域与实际中的应用

导数与定积分在科学技术领域与实际中的应用

小组成员：鞠鑫（组长），魏冕，贾艳婷，陈雪

专业班级：公共事业管理（卫生事业）1201班 摘要

微积分是数学的一个重要的分支，它是科学技术以及自然科学

的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具；如复杂图形的研究，求数列极限，证明不等式等；而在物理方面的应用，可以说是定积分最重要的应用之一，正是由于定积分的产生与发展，才使得物理学中精确的测量计算成为可能，从而使物理学得到了长足的发展都要用得到微积分。本文主要介绍导数和定积分在科学技术领域与实际生活中的应用。从导数与定积分的理论介绍、导数和定积分在物理上的应用、导数和定积分在数学上的应用、导数和定积分在经济学上的应用以及导数与定积分在科技领域和实际生活中应用的展望等几个方面来阐述。

关键词 导数 定积分 应用 正文

一、导数与定积分理论简介

导数是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源

于极限的四则运算法则.

（一）导数定义

1、导数第一定义

设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个领域内有定义，当自变量 x 在 x0 处有增量 △x ( x0 + △x 也在该邻域内 ) 时，相应地函数取得增量 △y = f(x0 + △x) - f(x0) ；如果 △y 与 △x 之比当 △x→0 时极限存在，则称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导，并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f'(x0) ,即

2、导数第二定义

设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个领域内有定义，当自变量 x 在 x0 处有变化 △x ( x - x0 也在该邻域内 ) 时，相应地函数变化 △y = f(x) - f(x0) ；如果 △y 与 △x 之比当 △x→0 时极限存在，则称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导，并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f'(x0) ,即

3、导函数与导数

如果函数 y = f(x) 在开区间 I 内每一点都可导，就称函数f(x)在区间 I 内可导。这时函数 y = f(x) 对于区间 I 内的每一个确定的 x 值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数 y = f(x) 的导函数，记作 y', f'(x), dy/dx, df(x)/dx。导函数简称导数。

一般地，假设一元函数 y=f(x )在 点x0的某个邻域N(x0，δ)内有定义，当自变量取的增量Δx=x-x0时，函数相应增量为 △y=f(x0+△x)-f(x0)，若函数增量△y与自变量增量△x之比当△x→0时的极限存在且有限，就说函数f(x)在x0点可导，并将这个极限称之为f在x0点的导数或变化率。

“点动成线”：若函数f在区间I 的每一点都可导，便得到一个以I为定义域的新函数，记作 f(x)' 或y'，称之为f的导函数，简称为导数.

（二）导数的几何意义

函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲

线在P0[x 导数的几何意义

0，f（x0）] 点的切线斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）.

1．函数的单调性

1.1利用导数的符号判断函数的增减性

利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲

线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想．

一般地，在某个区间(a，b)内，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减．

如果在某个区间内恒有f'(x)=0，则f(x)是常数函数． 注意：在某个区间内，f'(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件，如f(x)=x3在R内是增函数，但x=0时f'(x)=0。也就是说，如果已知f(x)为增函数，解题时就必须写f'(x)≥0。

1.2求函数单调区间的步骤（1.定义最基础求法2.复合函数单调性)

①确定f(x)的定义域 ②求导数

③由（或）解出相应的x的范围．当f'(x)>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f'(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数． 2．函数的极值

2.1函数的极值的判定

①如果在两侧符号相同，则不是f(x)的极值点

②如果在附近的左右侧符号不同，那么，是极大值或极小值。 3．求函数极值的步骤

①确定函数的定义域 ②求导数

③在定义域内求出所有的驻点与导数不存在的点，即求方程及的所有实根

④检查在驻点左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值． 4．函数的最值

4.1如果f(x)在[a,b]上的最大值（或最小值）是在(a，b)内一点处取得的，显然这个最大值（或最小值）同时是个极大值（或极小值），它是f(x)在(a，b)内所有的极大值（或极小值）中最大的（或最小的），但是最值也可能在[a，b]的端点a或b处取得，极值与最值是两个不同的概念．

4.2求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤 ①求f(x)在(a，b)内的极值

②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 5．生活中的优化问题

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题也称为最值问题．解决这些问题具有非常现实的意义．这些问题通常可以转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最大（小）值问题． （三）高阶导数的求法

1．直接法：由高阶导数的定义逐步求高阶导数。 2．高阶导数的运算法则： 高阶导数运算法则