??(20?12t)dt?(40t?6t2)|10)?(200?150)?650(件) 5?(400?6005103 利用定积分求经济函数的最大值和最小值
例3 设生产x 个产品的边际成本C = 100+ 2x , 其固定成本为
c0?1000元,产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售,
问生产量为多少时利润最大? 并求出最大利润。 解? 总成本函数为c(x)??0(100?2t)dt?c(0) =100x?x2?1000
总收益函数为R( x ) = 500x
总利润函数为L ( x ) = R ( x ) - C( x ) = 400x?x2?1000
L?= 400- 2x
x令L?= 0, 得x= 200 因为L?? ( 200) < 0
所以, 生产量为200 单位时, 利润最大。最大利润为L( 200)=400
?200-2002-1000=39000( 元) 。
4 利用定积分求消费者剩余与生产者剩余
在经济管理中, 一般说来, 商品价格低, 需求就大; 反之, 商品价格高, 需求就小, 因此需求函数Q = f( P)是价格P的单调递减函数。 同时商品价格低, 生产者就不愿生产, 因而供给就少; 反之, 商品价格高, 供给就多, 因此供给函数Q= g( P)是价格P的单调递增函数。 由于函数Q = f( P)与Q = g( P)都是单调函数, 所以分别存在反函数P=f?1(Q)与P= g?1(Q), 此时函数P=f?1(Q)也称为需求函数, 而P=g?1(Q)也称为供给函数。
需求曲线(函数) P=f?1(Q)与供给曲线(函数) P=g?1(Q)的交点A( P* , Q* )称为均衡点。在此点供需达到均衡。均衡点的价格P* 称为均衡价格, 即对某商品而言, 顾客愿买、生产者愿卖的价格。如果消费者以比他们原来预期的价格低的价格(如均衡价格)购得某种商品, 由此而节省下来的钱的总数称它为消费者剩余。
假设消费者以较高价格P= f?1(Q)购买某商品并情愿支付, Q* 为均衡商品量, 则在[ Q, Q+?Q]内消费者消费量近似为f?1(Q)?Q, 故消费者的总消费量为?0f?1(Q)dQ,它是需求曲线P=f?1(Q)在Q与 Q*之间的曲边梯形OQ*Ap1的面积, 如图
Q*
如果商品是以均衡价格P* 出售, 那么消费者实际销售量为P* Q* , 因此, 消费者剩余为 ?0f?(Q)dQ?p*Q*
它是曲边三角形P*AP1的面积。
如果生产者以均衡价格P* 出售某商品, 而没有以他们本来计划的以较低的售价P?g?1(Q)出售该商品, 由此所获得的额外收入, 称它为生产者剩余。
同理分析可知: P* Q* 是生产者实际出售商品的收入总额,
Q*?Q*0g?1(Q)dQ是生产者按原计划以较低价格售出商品所获得的收入总
额, 故生产者剩余为
PQ??g?1(Q)dQ
**0Q*它是曲边三角形p0Ap*的面积。
例4 设某商品的供给函数为P= 250+ 3Q +0. 01Q2, 如果产品的单价为425元, 计算生产者剩余。
解? 首先求出对应于p*= 425 的Q*的值,
令425= 250+ 3Q + 0. 01Q2, 得一正解Q*=50,于是生产者剩于为 pQ??0g?1(Q)dQ
**Q* =425?50??0(250?3Q?0.01Q2)dQ
3213?|50? =425?50??2500?Q?0.01?Q?0
23??50=4583.339(元)。
5 利用定积分决定广告策略问题
例5 ?某出口公司每月销售额是1 000000美元, 平均利润是销售额的10%. 根据公司以往的经验, 广告宣传期间月销售额的变化率近似地服从增长曲线1?106?e0.02t( t 以月为单位) , 公司现在需要决定是否举行一次类似的总成本为1.3?105美元的广告活动. 按惯例, 对于超过1?106美元的广告活动, 如果新增销售额产生的利润超过广告投资的10%, 则决定做广告。试问该公司按惯例是否应该做此广告? 解 由公式知, 12 个月后总销售额是当t= 12时的定积分
e即总销售额= ?01000000120.02t1000000e0.02t12dt? |00.02 =50000000e0.24?1?1356000( 美元)
公司的利润是销售额的10% , 所以新增销售额产生的利润是
0.10?(13560000?12000000)?156000(美元)
156000 美元利润是由花费130000 美元的广告费而取得的, 因此, 广告所产生的实际利润是156000- 130000= 26000( 美元) 这表明赢利大于广告成本的10%, 故公司应该做此广告。 6 利用定积分计算资本现值和投资
若有一笔收益流的收入率为f(t) , 假设连续收益流以连续复利率r 计息, 从而总现值y=?0f(t)e?rtdt。
例6 有一个大型投资项目, 投资成本为A= 10000( 万元) , 投资年利率为5% , 每年的均匀收入率为a= 2000( 万元) , 求该投资为无限期时的纯收入的贴现值(或称为投资的资本价值) .
解? 由已知条件收入率为a= 2000( 万元) ,年利率r= 5%, 故无限期的投资的总收入的贴现 y??0ae?rtdt =?02000e?0.05tdt =bLim???02000e?0.05tdt
20001?e?0.05b 0.051 =2000?
0.05b????T =bLim???? =40000（万元）
从而投资为无限期时的纯收入贴现值为R= y-A= 40000-10000= 30000( 万元) = 3亿元.
7、总结
定积分在数学中占主导地位。同时，它和经济学也有很大的联系，以上几个方面的应用也只是定积分在经济学中应用的一部分, 定积分还有很多在经济学中的应用之处。只要勤于学习, 善于思考, 勇于探索,就一定能从中感受到定积分的无穷魅力, 同时也能提高应用数学知识解决实际问题的能力。
参考文献
［1］ 误传生，《经济数学—微积分》，高等教育出版社，2003 ［2］ 侯风波，《经济数学基础》，高等教育出版社，2004
［3］ 华东师范大学数学系，<<数学分析>>，高等教育出版社, 1990 ［4］ 王向东，<<数学分析概念与方法>>，上海科技文献出版社，1989 ［5］ 陈锡璞，<<工程经济>>，机械工业出版社，北京，1994.10 ［6］ Г. М. 菲赫金哥尔茨, 《微积分学教程》, 高等教育出版
社,2006
［7］ 白银凤 罗蕴玲,《微积分及其应用》, 高等教育出版社