为了求出?F的近似值，将?y,y?dy?相应的这段小棒近似地看作是一个质点，其质量为udy,其与M
22r?a?y点的距离近似为
,此时由两个
质点间的引力计算公式可求出?F的近似值为
mudy?F?G2a?y2
?F??Fcos???G从而知?F在水平方向分力见图)
amudy?a2?y2? (其中?32dFx??G于是 (3) 所求引力在水平方向分力为
Fx??dFx?????l2l?2l2l?2amudy?a2?y2?32
Gamu?a2?y322?dy2Gmul1?a4a2?l2
由对称性知，引力在沿铅直方向分力为Fy?0
三、导数与定积分在数学上的应用 （一）、导数的应用
1、导数在数学上的的应用 1.1利用导数求函数的单调性
利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想．
一般地，在某个区间(a，b)内，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)
在这个区间内单调递增；如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减．
如果在某个区间内恒有f'(x)=0，则f(x)是常数函数． 注意：在某个区间内，f'(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件，如f(x)=x3在R内是增函数，但x=0时f'(x)=0。也就是说，如果已知f(x)为增函数，解题时就必须写f'(x)≥0。
1.2利用导数求函数的最值
如果f(x)在[a,b]上的最大值（或最小值）是在(a，b)内一点处取得的，显然这个最大值（或最小值）同时是个极大值（或极小值），它是f(x)在(a，b)内所有的极大值（或极小值）中最大的（或最小的），但是最值也可能在[a，b]的端点a或b处取得，极值与最值是两个不同的概念．
求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤 ①求f(x)在(a，b)内的极值
②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
1.3利用导数判断函数的凹凸性和拐点
设函数f(x)在区间I上定义，若对I中的任意两点x1和x2,和任意λ∈(0,1)，都有
f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2),则称f(x)是I上的凹函数。
若不等号严格成立，即\号成立，则称f(x)在I上是严格凹函
数。
如果\换成\就是凸函数。类似也有严格凸函数。 这个定义从几何上看就是：
在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数。
直观上看，凸函数就是图象向上突出来的。比如y=-x^2,y=lnx.
1.4利用导数描绘函数的图象
2、定积分在数学上的应用
2.1利用定积分求平面几何体的面积
求平面图形的面积是定积分在几何中的重要应用.把求平面图形的面积问题转化为求定积分问题，充分体现了数形结合的数学思想.求解此类题常常用到以下技巧. (1)巧用积分变量
求平面图形面积时，要注意选择积分变量，以使计算简便. (2)巧用对称性
在求平面图形面积时，注意利用函数的奇偶性等所对应曲线的对称性解题，也是简化计算过程的常用手段. (3)巧用分割计算
例：求由曲线y=x^2与y^2=8x所围成的封闭图形的面积
解析：解由y=x^2与y^2=8x联立的方程组得二交点为(0,0)及(2,4)， 由于封闭图形的面积在第一象限，故而由y^2=8 得y=2，则
面积为S=dx－=(x－x3)=-2x
2.2利用定积分求立体图形的体积
2.3利用定积分求极限 2.4利用定积分证明不等式
2.5利用定积分求函数平均值 四、导数与定积分在经济学上的应用
定积分是微积分中重要内容，它是解决许多实际问题的重要工具，在经济学中有着广泛的应用，而且内容十分丰富。文中通过具体事例研究了定积分在经济学中的应用，如求总量生产函数、投资决策、消费者剩余和生产者剩余等方面的应用。
积分学是微分学和积分学的总称。由于函数概念的产生和应用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的。可以说是继欧氏几何后，全部数学中最大的一个创造。微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有
的发展。本文将重点介绍定积分在经济学中的应用。
1 利用定积分求原经济函数问题
在经济管理中, 由边际函数求总函数( 即原函数) , 一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分。可以求总需求函数,总成本函数, 总收入函数以及总利润函数。
设经济应用函数u( x ) 的边际函数为u?(x) ,则有 u(x)?u(0)??0u?(x)dx
例1 生产某产品的边际成本函数为c?(x)?3x2?14x?100, 固定成本C (0) =10000, 求出生产x个产品的总成本函数。 解? 总成本函数 c?(x)?c(0)??0c?(x)dx
=10000??0(3x2?14x?100)dx
x =10000?[x3_7x2?100x]|0
xxx =10000?x3?7x2?100x 2 利用定积分由变化率求总量问题
如果求总函数在某个范围的改变量, 则直接采用定积分来解决。 例2 已知某产品总产量的变化率为Q?(t)?40?12t ( 件/天) , 求从第5 天到第10 天产品的总产量。 解 所求的总产量为
Q??Q?(t)dt
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