‘注意：必须在各自的导数存在时应用（和差点导数）’
3．间接法：利用已知的高阶导数公式，通过四则运算，变量代换等方法，‘注意：代换后函数要便于求，尽量靠拢已知公式’求出阶导数。
（四）定积分
众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数。所以，微分与积分互为逆运算。 1、定义
设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[a,x0],(x0,x1],(x1,x2],?,(xi,b]，可知各区间的长度依次是：△x1=X0-a，△x2=X1-x0,?，△xi=b-xi.在每个子区间（xi-1,xi）任取一点ξi(i=1,2,?,n），作和式（见右下图），设λ=max{△x1，△x2,?，△xi}(即λ属于最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为（见右下图）： 其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x) 叫做被积函数，x 叫做积分变
量，f(x)dx 叫做被积式，∫ 叫做积分号。
之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数， 而不是一个函数。 2、性质
2.1 常数可以提到积分号前
二、导数与定积分在物理上的应用
导数与定积分在物理方面的应用是非常广泛的，求质心，转动惯量，引力，变力做功问题都是用到积分，电路理论也要用到积分与导数的知识。这里主要介绍下列四方面的应用及其例子①做变速直线运动的物体所经过的路径s,等于其速度v=v(t)( v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分?即
?②如果物体在变力F(x)下
做直线运动,且物体沿着与F(x)的方向从x=a移动到x=b(a 问题 物体做直线运动，其速度v（t）是t的一个连续函数，求物体在时间段[a,b]内所经过的路程s 分析 如果v是一个常数，那么s就可由匀速直线运动的路程公式s=v(b-a)求得。但由于v(t)是个连续变化的函数，便可采取“分割—近似—求和—极限”的方法：分割时间区间为许多很小的时段，将每个小时段上的运动看作是匀速直线运动，求得该时段的路程的近似 ③在电学中的小应用④求引力 值，这些近似值得和便是总路程s. （1）分割。把时间[a,b]分成n个小区间，设分点为 a=t0 每个小区间的长度为△ti=ti-ti-1(i=1,2,3,?,n)，并设物体在第i个时间段[ti-1,ti]内走过的路程为△si(i=1,2,?,n). （2）近似。在每个小时段内任取一个时刻τi以物体在τi的速度v(τi)去近似替代变化的速度v(t)，得到物体在这段时间里走过的路程△si的一个近似值： △si≈v(τi) △ti(i=1,2,?,n) （3）求和。把这些近似值加起来，就得到s的一个近似值。 （4） 极限。当所有小区间的长度趋于0，即它们的最大值λ=max{△t1, △t2,?, △tn}趋于0时，近似值得极限即路程s的精确值，即 思考 对于s-t图像，某一点的斜率即那一点的瞬时速度 t图像，某一点的斜率即那一点的瞬时加速度a,图像与 x轴围城的图形的面积即行驶过的路程s. 结论 做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度v=v(t)在时间区间[a,b]上的定积分 2.变力做功问题 变力做功问题与变速直线运动问题的本质是一样的，都运用了积分的思想。下面用一个例题说明。 问题 一质点做直线运动，位移函数为x=t3,其中t为时间，x为位移。设运动中，受到的阻力与物体运动速度成正比，求质点从x=0到x=8时克服阻力做的功W 解 由导数的意义可知，质点的运动速度根据 题设，阻力f=kv=3kt2,所求功与区间[0，8]相关联，任取[0，8]内小区间[x,x+dx],则质点克服阻力所做的功德近似值为 dW=f(x)×dx=kvdx=3kt2dt3 故所求的功为 3.电路方面的小运用 由定积分的几何意义给出了连续函数y=f(x)在[a,b]上的平均值为 问题 正弦交流电的电动势E=E0sinωt,其中E0和ω都是常量，求在 内的平均电动势 解 4.运用导数和定积分求引力 已知两质点间的引力计算，但是一根细棒对一个质点的引力如何计算呢？由于细棒上各点与一个质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，因此解决此种问题需要利用定积分的元素法，下面举例说明它的计算． 问题 设有一长度为l,线密度为u的均匀细直棒，在其中垂线上距离棒a单位处有一质量为m的质点M，试计算该棒对质点M的引力． 解 ?ll??,?? (1) 如图取坐标系，选取y为变量，y的变化范围为?22?， ?ll??,??(2) 在?22?上任取一小区间?y,y?dy?，?y,y?dy?对应的这小段棒对 质点M的引力的大小记为：?F