Born to win
2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上) (1) limarctanx?x?x?0ln(1?2x3).
(2) 设函数y?y(x)由方程2xy?x?y所确定，则dy(3)
x?0?.
???2dx?(x?7)x?21x.
(4) 曲线y?(2x?1)e的斜渐近线方程为.
?100??230(5) 设A???0?45??00?60?0??，E为4阶单位矩阵，且B?(E?A)?1(E?A)则 0??7?.
(E?B)?1?二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设函数f(x)?x在(??,??)内连续，且limf(x)?0,则常数a,b满足 ( )
x???a?ebx(A)a?0,b?0. (B)a?0,b?0. (C)a?0,b?0. (D)a?0,b?0.
2(2) 设函数f(x)满足关系式f??(x)?[f?(x)]?x，且f?(0)?0，则 ( )
(A)f(0)是f(x)的极大值. (B)f(0)是f(x)的极小值.
(C)点(0,f(0))是曲线y?f(x)的拐点.
(D)f(0)不是f(x)的极值，点(0,f(0))也不是曲线y?f(x)的拐点.
(3 ) 设f(x),g(x)是大于零的可导函数，且f'(x)g(x)?f(x)g'(x)?0,则当a?x?b 时，有 ( )
(A)f(x)g(b)?f(b)g(x) (B) f(x)g(a)?f(a)g(x)
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(C)f(x)g(x)?f(b)g(b) (4) 若lim? (D) f(x)g(x)?f(a)g(a)
6?f(x)?sin6x?xf(x)?lim，则为 ( ) ?0?23x?0x?0xx??(A)0. (B)6. (C)36. (D)?.
(5) 具有特解y1?e?x,y2?2xe?x,y3?3ex的3阶常系数齐次线性微分方程是 ( )
(A)y????y???y??y?0. (B)y????y???y??y?0. (C)y????6y???11y??6y?0. (D)y????2y???y??2y?0.
三、(本题满分5分)
设f(lnx)?ln(1?x)，计算?f(x)dx. x四、(本题满分5分)
设xoy平面上有正方形D?(x,y)0?x?1,0?y?1及直线l:x?y?t(t?0).若
??S(t)表示正方形D位于直线l左下方部分的面积，试求?S(t)dt,(x?0).
0x五、(本题满分5分)
求函数f(x)?x2ln(1?x)在x?0处的n阶导数fn(0)(n?3). 六、(本题满分6分)
设函数S(x)??x0|cost|dt，
(1)当n为正整数，且n??x?(n?1)?时，证明2n?S(x)?2(n?1)； (2)求limS(x).
x???xV，流入湖泊内不含A的6七、(本题满分7分)
某湖泊的水量为V，每年排入湖泊内含污染物A的污水量为水量为
VV，流出湖泊的水量为，已知1999年底湖中A的含量为5m0，超过国家规定指63m标.为了治理污染，从2000年初起，限定排入湖泊中含A污水的浓度不超过0.问至多需要
V经过多少年，湖泊中污染物A的含量降至m0以内(注：设湖水中A的浓度是均匀的) 八、(本题满分6分)
设函数f(x)在?0,??上连续，且
??0f(x)dx?0,?f(x)cosxdx?0，试证明：在(0,?)
0? Born to win
内至少存在两个不同的点?1,?2，使f(?1)?f(?2)?0. 九、(本题满分7分)
已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x?0的某个邻域内满足关系式
f(1?sinx)?3f(1?sinx)?8x??(x)
其中?(x)是当x?0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x?1处可导，求曲线y?f(x)在点
(6,f(6))处的切线方程.
十、(本题满分8分)
设曲线y?ax2(a?0,x?0)与y?1?x2交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y?ax2围成一平面图形.问a为何值时，该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最大？最大体积是多少？ 十一、(本题满分8分)
函数f(x)在[0,??)上可导，f(0)?1且满足等式
f?(x)?f(x)?(1)求导数f?(x)；
(2)证明：当x?0时，成立不等式e
十二、(本题满分6分)
?x1xf(t)dt?0, ?0x?1?f(x)?1成立
?1??1??0???1????T设??2,????,??0,A???T,B??T?.其中?是?的转置，
?????2??1??8??0???????求解方程2BAx?Ax?Bx??
十三、(本题满7分)
2244?0??a??b??1??3??9?????????????已知向量组?1??1?,?2??2?,?3??1?与向量组?1??2?,?2??0?,?3??6?
??1??1??0???3??????????????1???7?具有相同的秩，且?3可由?1,?2,?3线性表出，求a,b的值.
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2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、填空题 (1)【答案】?16
【详解】limx?0arctanx?x?ln?1?2x3ln1?2x3???2x31?12arctanx?x洛?x211?x lim?lim?lim??x?0x?0x?06x21?x22x36x26??
(2)设函数y?y(x)由方程2xy?x?y所确定，则dy【答案】(ln2?1)dx 【详解】
方法1：对方程2xy?x?y两边求微分，有
x?0?.
2xyln2?(xdy?ydx)?dx?dy.
由所给方程知，当x?0时y?1. 将x?0，y?1代入上式，有ln2?dx?dx?dy. 所以，dyx?0?(ln2?1)dx.
方法2：两边对x求导数，视y为该方程确定的函数，有
2xyln2?(xy??y)?1?y?.
当x?0时y?1，以此代入，得y??ln2?1，所以dyx?0?(ln2?1)dx. (3)【答案】
? 3【详解】由于被积函数在x?2处没有定义，则该积分为广义积分.对于广义积分，可以先按照不定积分计算，再对其求极限即可.
作积分变量替换，令x?2?t,x?2?t2dx?2tdt,
?
??2??dx2t1t2????dt?2?arctan???. 0(t2?9)t033323(x?7)x?2??(4)【答案】y?2x?1
【公式】y?kx?b为y?f(x)的斜渐近线的计算公式：k?lim?x??x???x????y,b?lim[f(x)?kx]
x??xx????x???? Born to win
y11【详解】k?lim?lim(2?)ex?2,
x???xx???x12eu?2ub?lim(y?2x)?lim[(2x?1)e?2x] 令?u??lim?(?e)
x???u?0x???xu1x2(eu?1)uu2uu?lim(?e)??e?1u???lim(?e)?2?1?1 u?0?u?0?uu所以，x???方向有斜渐近线y?2x?1. 当x???时，类似地有斜渐近线y?2x?1. 总之，曲线y?(2x?1)e的斜渐近线方程为y?2x?1.
1x?100??120(5)【答案】??0?23??00?30?0?? 0??4?【详解】先求出(E?B)?1然后带入数值，由于B?(E?A)?1(E?A)，所以
?1(E?B)?1??E?(E?A)(E?A)???－１?1?1???(E?A)(E?A)?(E?A)(E?A)??1?1－１???2(E?A)?(E?A)??2?2000??100???1??2400???120?????????????????????0?230?4602????00?68??00?3－１
0?0??0??4?
二、选择题 (1)【答案】D
【详解】排除法：
如果a?0，则在(??,??)内f(x)的分母a?ebx必有零点x0，从而f(x)在x?x0处不连续，与题设不符.不选(A)，若b?0，则无论a?0还是a?0均有limf(x)??,与题
x???设limf(x)?0矛盾，不选(B)和(C).故选(D).
x???
(2)【答案】C