Born to win
?(0)?1?1?0，且??(x)?f?(x)?e?xe?x?f?(x)??0 (x?0)
x?1所以，当x?0时?(x)?0，即f(x)?e?x.
结合两个不等式，推知当x?0时，e?x?f(x)?1. 证毕.
十二【详解】由题设得
1??10???1?2??1?????1A???T??2??10???210?，B??T???1?2???1??2?1??0??12???1????0??2??2. ????1?2TTT242所以 A???????????2A，A?8A；B?4，B?16
??代入原方程2B2A2x?A4x?B4x??中，得
16Ax?8Ax?16x??，即8?A?2E?x??
其中E是三阶单位矩阵，令x??x1,x2,x3?，代入上式，得线性非齐次方程组
T1??x??12x2?0? (1) ?2x1?x2?0?1?x1?x2?2x3?12?显然方程组得同解方程为
?2x1?x2?0? (2) ?1x1?x2?2x3?1??2令自由未知量 x1?k,解得x2?2k,x3?k?故方程组通解为
1 2?????x1??k??1??0??x???2k??k?2???0?，(k为任意常数)
??2???????1???1?1??x3??????k??????2??2?
Born to win
十三【详解】
方法1：先求???1,?2,?3?,将矩阵作初等行变换，得
9??139??139??13???0?6?12???012?
206??1,?2,?3????????????31?7????01020????000??知???1,?2,?3??2. 故???1,?2,?3?????1,?2,?3??2，??1,?2,?3?作初等行变换
10??0ab???1???0?
12131??1,?2,?3??????????110????0a?3b0??因为???1,?2,?3??2，所以a?3b
又?3可由?1,?2,?3线性表出，故???1,?2,?3,?3?????1,?2,?3??2 将??1,?2,?3,?3?作初等行变换
?139?206????31?7b??139?0?6?121????0?????11020b?1?2b?? 3b?????139??012??000????b?1?2b?
??6?53b??1?2b??3?5?1?2b??0，解得b?5，及a?3b?15. 3由???1,?2,?3,?3??2，得3b?方法2：由方法1中的初等变换结果可以看出?1,?2线性无关，且?3?3?1?2?2，故
???1,?2,?3??2，?1,?2是?1,?2,?3的极大线性无关组. 又
???1,?2,?3?????1,?2,?3??2，?1,?2,?3线性相关. 从而得
0ab0ab31?0,
?1,?2,?3?121?1?110?100计算三阶行列式得?a?3b?0，得a?3b
Born to win
又?3可由?1,?2,?3线性表出 ，即可由?1,?2线性表出，?1,?2?3线性相关，有
b1?2b3b?10?1?2b?6?0
13b13b3b13?1,?2,?3?201?0?61?2b?0?601000?310行列式展开得?6?3b?所以3b???10?1?2b????0， 6?5?1?2b??0，得b?5及a?3b?15. 3方法3：先利用?3可由?1,?2,?3线性表出，故方程组??1,?2,?3?X??有解，即
?139??x1??b??206??x???1? ???2??????31?7????x3????0??有解. 对其增广矩阵施行初等行变化
?139?206????31?7b??139?0?6?121????0?????11020b?1?2b?? 3b?????139??012??000????b?2b?1?
??6?53b??1?2b??3?由其次线性方程组有解的条件(系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩)，知
3b?解得b?5.
551?1?2b???b?0 333又因为?1和?2线性无关，且?3?3?1?2?2，所以向量组?1,?2,?3的秩为2 ，
0由题设条件知???1,?2,?3??2，从而?1,?2,?3?1解得a?15
ab0ab31?0,
21?1?110?100 Born to win
2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上) (1) limx?13?x?1?x? 2x?x?2(2) 设函数y?f(x)由方程e2x?y?cos(xy)?e?1所确定,则曲线y?f(x)在点(0,1)处的
法线方程为 . (3)
??x2??3??sin2x?cos2xdx? 2(4) 过点?y?1??1的曲线方程为 . ,0?且满足关系式y'arcsinx?22??1?x?a11??x1??1???????(5) 设方程1a1x2?1有无穷多个解,则a? . ????????11a????x3?????2??二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)
??1,x?1,(1) 设f(x)??则f?f?f(x)??等于 ( )
??0,x?1,???1,x?1,?0,x?1,(A)0 (B)1 (C)? (D)f(x)??
???0,x?1,?1,x?1,(2) 设当x?0时，(1?cosx)ln(1?x2)是比xsinx高阶的无穷小，xsinx是比e?1高阶的无穷小，则正整数n等于 ( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (3) 曲线y?(x?1)(x?3)的拐点个数为 ( )
(A)0. (B)1. (C)2. (D)3
22nn?x2???)(4)已知函数f(x)在区间(1??,1内具有二阶导数，f'(x)严格单调减少，且
f(1)?f'(1)?1,则 ( )
(A)在(1??,1)和(1,1??)内均有f(x)?x.
Born to win
(B)在(1??,1)和(1,1??)内均有f(x)?x.
(C)在(1??,1)内，f(x)?x.在(1,1??)内，f(x)?x. (D)在(1??,1)内，f(x)?x.在(1,1??)内，f(x)?x. (5)设函数f(x)在定义域内可导，y?f(x)的图形如右图所示，
则导函数y?f?(x) 的图形为 ( )
三、(本题满分6分)
求
?(2xdx2?1)x?12.
四、(本题满分7分)
求极限lim??sint??t?xsinx??xsint?sinx，记此极限为f(x)，求函数f(x)的间断点并指出其类型.
五、(本题满分7分)
设???(x)是抛物线y?x上任一点M(x,y)(x?1)处的曲率半径，s?s(x)是该抛
2d2??d??物线上介于点A(1,1)与M之间的弧长，计算3????的值.(在直角坐标系下曲率2ds?ds?公式为K?y\(1?y')322)
六、(本题满分7分)
设函数f(x)在[0,??)上可导，f(0)?0，且其反函数为g(x).若求f(x). 七、(本题满分7分)
?f(x)0g(t)dt?x2ex，