Born to win
?f?(x)?g(x)????0??f(x)???f?(x)?1?x??f(x)f(x)?dx?d dx??2??001?x1?x(1?x)??f(?)f(0)sin??cos??e?1?e?f(x)????f(0)? ?1??1?01??1??1?x0方法2：
??0?g(x)??g(x)f(x)f(x)??dx?dx ?dx?1?x(1?x)2???01?x0(1?x)2????g(x)?g(x)1?1??dx??f(x)?dx?dx?f(x)d ??01?x?001?x1?x?1?x????0?分部????0?f?(x)g(x)f(x)dx??dx 1?x1?x0?01?x??g(x)g(x)f(x)dx???dx 1?x1?x001?x???g?x??f?(x)????0f(?)f(0)sin??cos??e?1?e?f(x)????f(0)? ?1??1??1?x01??1?0
八【详解】(1)设曲线L过点P(x,y)的切线方程为Y?y?y??X?x?，令X?0，则
Y??xy??y，即它在y轴上的截距为?xy??y，
根据两点?x,y?,?x0,y0?距离公式d??x?x0???y?y0?22，所以原点到点P(x,y)22的距离为x?y，由题设P(x,y)(x?0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴
上的截距，所以：?xy??y?x2?y2， (x?0)，
x2?y2y即 y???， (x?0)
xx此为一阶齐次方程，按规范方法解之，命y?ux，则
dy?u?xdu，代入，方程变为： dxduduxu2?1dudx??u2?1??? u?x?u??xdxxdxxu2?1积分得
?duu2?1???dx?lnu?1?u2x???u?1?u2???lncxC x Born to win
把u?
y
代入上式，得 x
yC?y??1?????y?x2?y2?C. xx?x?1?1??1?由题设曲线经过点?,0?，代入得0????0?C，则C?，故所求方程为：
2?2??2?22y?x2?y2?(2) 由(1)知y?112，即y??x. 241?1??x2，则y???2x，点P(x,y)?P?x,?x2?，所以在点P处的切4?4?线方程为：Y??截距分别为x?2?12??x???2x?X?x?，分别令X?0，Y?0，解得在y轴，x轴上的?4?1x1和?. 428x此切线与两坐标轴围成的三角形面积为：
211?x1??1?24x?1,??x?0 A?x??????x2?????2?28x??4?64x由于该曲线在第一象限中与两坐标轴所围成的面积为定值，记S0，于是题中所要求的
212面积为：S?x??A?x??S0??4x?1??S0,?
64x求最值点时与S0无关，以下按微分学的办法求最值点.
22?2?8x4x?1?4x?1?2???1??24x?1??S0?? S??x????264x?64x?2?2?8x?4x2?1?x??4x2?1?64x224x??2?1??12x2?1?64x2
令S??x??0得x?3313，当0?x?时，S??x??0；当x?时，S??x??0， ?66612根据极值存在的第一充分条件：设函数f(x)在x0处连续，且在x0的某去心?领域内可导，若x??x0??,?x0?时，f?(x)?0，而x??x0,?x0???时，f?(x)?0，则f(x)在x0处取得极大值，知：x?3是S?x?在x?0处的唯一极小值点，即最小值点， 6 Born to win
于是所求切线方程为：
?1?3?2?3123?3??，即 Y??X?Y??????X???????33?4??6?6??6???
九【详解】
方法1：半球形雪堆在时刻t时设其半径为r，则半球体积V?题设体积融化的速率与半球面面积S成正比，知：
23?r，侧面积S?2?r2. 由3dV??kS， dt由于r是t的函数，2drdrdVd?23?2?r2??kS，代入上式，得：???r??2?r2，
dtdtdtdt?3?即2?rdr??k?2?r2，从而dr??kdt，rt?0?r0. dt积分得r??kt?c，把rt?0?r0代入，得c?r0，所以r??kt?r0.
又半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的
7，即8Vt?371?V0?V0?V0，其中V0表示t?0时的V. 以V的公式代入上式，为
88212Vt?3??r3???r3
383t?3t?0将r??kt?r0代入上式，两边约去
??kt?r0?从而求得：k?融化完.
32?，得： 311?r03，即?kt?r0?r0 8211?t?r0，于是r??kt?r0??r0t?r0?r0?1??，当t?6时r?0，雪66?6?方法2：半球形雪堆在时刻t时设其半径为r，则半球体积V?联立V?23?r，侧面积S?2?r2，323?r，S?2?r2消去r，得：S?318?V2 3dV??kS，从而推知 dt由题设体积融化的速率与半球面面积S成正比，知：
dV??k318?V2,?Vdt分离变量
t?0?V0
13dVV23??k18?dt，积分：3V??k318?t?c，把Vt?0?V0代入，
3 Born to win
c?3V，所以，3V?3V?k318?t.
又由V171311V?V0?V0?V0，代入上式V03?3V03?3k318?，得k?30，
882218?13013130t?311113V03故 3V?3V?k18?t?3V?18?t?3V03?V03t.
2218?131303130命V?0，解得：t?6，即雪堆全部融化需6小时.
十【应用定理】闭区间上连续函数的介值定理：设f(x)在?a,b?上连续，f(a)?f(b)，则对f(a)与f(b)之间的任何数?，必存在c(a?c?b)，使得f(c)??. 【详解】(1)麦克劳林公式其实就是泰勒公式中，把函数在零点展开.
f(x)的拉格朗日余项一阶麦克劳林公式为：
f(x)?f(0)?f?(0)x?1f??(?)2f??(?)x2?f?(0)x?x， 22其中?位于0和x为端点的开区间内，x???a,a?.
(2)方法1：将f(x)从?a到a积分
?a?af(x)dx??f?(0)xdx??aa1a2??f(?)xdx. ??a2而
??a?aax2af?(0)xdx?f?(0)?xdx?f?(0)??0
?a2?aa从而有
?af(x)dx?1a2??f?(x)dx .??a2因f??(x)在??a,a?上连续，故有f??(x)在??a,a?上存在最大值M，最小值m(由闭区间上的连续函数必有最大值和最小值)，即
m?minf??(x),M?maxf??(x),
[?a,a][?a,a]易得 m?f??(x)?M,x?[?a,a].
aa1a11x3aMa322f(x)dx??f??(?)xdx?M?xdx?M?,
?a2?a223?a3因此
???aa同理
?af(x)dx?3a3a1a11322??f(?)xdx?mxdx?ma. ???a?a223因此 m??a?af(x)dx?M.
由连续函数介值定理知，存在????a,a?，使
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f??(?)?3a3?a?af(x)dx，即a3f??(?)?3?f(x)dx.
?aa方法2 ：观察要证的式子，做变限函数：F(x)??x?xf(t)dt，易得F(0)?0，
F?(x)?f(x)?f(?x)(变限积分求导)
F??(x)??f(x)?f(?x)???f?(x)?f?(?x)
F???(x)??f?(x)?f?(?x)???f??(x)?f??(?x)
则有 F?(0)?f(0)?f(?0)?0?0?0
F??(0)?f?(0)?f?(?0)?f?(0)?f?(0)?0
将它展开成2阶带拉格朗日余项麦克劳林公式：
F(x)?F(0)?F?(0)x?11F??(0)x2?F???(?)x3 23!11?0?0?F???(?)x3?(f??(?)?f??(??))x3
66其中??(0,x)，x???a,a?
由于f??(x)在??a,a?上连续，则由连续函数介值定理，存在?????,??，使
f??(?)?11(f??(?)?f??(??)) (因为(f??(?)?f??(??))?f??(x),x???a,a?) 22于是有，存在????a,a?，使
1111F(x)?0?0?F???(?)x3??(f??(?)?f??(??))x3?f??(?)x3
6323把x?a代入F(x)有：
a1a33F(a)?f??(?)a，即?f(x)dx?f??(?) ????a,a?
?a33即 af??(?)?33?a?af(x)dx ????a,a?
十一【详解】题设的关系式
AXA?BXB?AXB?BXA?E?AXA?BXB?AXB?BXA?E
??AXA?AXB???BXB?BXA??E?AX?A?B??BX?B?A??E ?AX?A?B??BX?A?B??E??AX?BX??A?B??E