49. 观察下列各式：??+??=1，??2+??2=3，??3+??3=4，??4+??4=7，??5+??5=11，?，则
??10+??10= ??
A. 28
B. 76
3????+1，则 ??1
3?????C. 123 D. 199
50. 给定数列 ???? ，??1=1，且 ????+1= A. 1 B. ?1
二、填空题（共37小题；共185分）
+??2+?+??2011= ?? C. 2+ 3 D. ?2+ 3 51. 定义\等和数列\：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列
叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列 ???? 是等和数列，且 ??1=2，公和为 5，
那么 ??18 的值为 ． 52. 已知数列 ???? 满足 ??1=0，????+1=
????? 3 3????+1 ??∈??? ，则 ??20 等于 ．
53. 已知函数 ?? ?? 的部分对应值如表所示．数列 ???? 满足 ??1=1，且对任意 ??∈???，点 ????,????+1
都在函数 ?? ?? 的图象上，则 ??2016 的值为 ．
??1?102
?? ?? 01?12
54. 已知 ??1=1，??2=?1+??，??3=?1+??，?，????+1=?1+??，?，那么 ??2017= ．
1
2
??
111
55. 在数列 ???? 中，??1=1，??2=5，????+2=????+1????? ??∈??? ，则 ??2016 的值为 ． 56. 已知数列 ???? 满足：??1=2，????+1=
??1??2???2015= ．
57. 已知函数 ?? ?? =??2cos??π，且 ????=?? ?? +?? ??+1 ，则 ??1+??2+?+??100= ． 58. 设 ?? ?? 表示正整数 ?? 的个位数字，????=?? ??2 ??? ?? ，则数列 ???? 的前 2012 项和等
于 ．
59. 已知函数 ?? ?? 的对应关系如下表所示，数列 ???? 满足 ??1=3，????+1=?? ???? ，则
??4= ，??2015= ．
??123
?? ?? 321
60. 已知数列 ???? 满足：??4???3=1，??4???1=0，??2??=????,??∈???，则 ??2009= ；
??2014= ．
61. 已知数列 ???? 满足 ??1=2，????+1=1????? ??∈??? ，则该数列的前 2019 项的乘积 ??1???2???3???
??
1+????1?????
??∈??+ ，则该数列前 2015 项的乘积
1+??
??2019= ． 62. 已知数列 ???? 满足 ????+1
2????,0≤????≤2,
若 ??1=2，则 ??2014= ． = 15
2?????1,
2
1
63. 已知数列 ???? 满足：??4???3=1，??4???1=0，??2??=????，??∈??+，则 ??2009= ；??2014= ．
第6页（共25页）
64. 若数列 ???? 满足：只要 ????=???? ??,??∈??? ，必有 ????+1=????+1，那么就称数列 ???? 具有性质 ??，
已知数列 ???? 具有性质 ??，且 ??1=1，??2=2，??3=3，??5=2，??6+??7+??8=21，则
??2017= ．
65. 数列 ???? 满足 ??1=2，????+1=
1+????1?????
??∈??? ，则 ??6= ．
66. 在一个数列中，如果 ? ??∈???，都有 ????????+1????+2=??（?? 为常数），那么这个数列叫做等积数
列，?? 叫做这个数列的公积．已知数列 ???? 是等积数列，且 ??1=1，??2=2，公积为 8，则 ??1+??2+??3+?+??12= ．
67. 已知数列 ???? 满足 ??1=1，??2=?2，且 ????+1=????+????+2，??∈???，则 ??5= ；数列
???? 的前 2016 项的和为 ．
68. 已知数列 ???? 的通项公式为 ????=7??+2，数列 ???? 的通项公式为 ????=??2．若将数列 ???? ，
???? 中相同的项按从小到大的顺序排列后记作数列 ???? ，则 ??9 的值是 ． 69. 已知数列 ???? 中，??1=2，????+1=1?70. 数列 ???? 满足 ????+1=
11?????
1????
??∈??? ，则 ??10= ．
，??8=2，则 ??1= ．
71. 已知数列 ???? 中，对任意的 ??∈???，若满足 ????+????+1+????+2+????+3=??（?? 为常数），则称该
数列为 4 阶等和数列，其中 ?? 为 4 阶公和；若满足 ?????????+1?????+2=??（?? 为常数），则称该数列为 3 阶等积数列，其中 ?? 为 3 阶公积．已知数列 ???? 为首项为 1 的 4 阶等和数列，且满足
??4??3
=??3=??2=2；数列 ???? 的公积为 1 的 3 阶等积数列，且 ??1=??2=?1，设 ???? 为数列
2
1
????
????????? 的前 ?? 项和，则 ??2016= ．
72. 设函数 ?? ?? 定义如下表．若数列 ???? 满足 ??1=2，且对任意的正整数均有 ????+1=?? ???? ，则
??2011= ．
??12345
?? ?? 41352
73. 数列 ???? 满足 ????+1=
11?????
，??11=2，则 ??1= ．
74. 若在数列 ???? 中，??1=3，????+?????1=4 ??≥2 ，则 ??2013= . 75. 设函数 ?? ?? 定义如下表，数列 ???? 满足 ??1=2，且对任意的自然数均有 ????+1=?? ???? ，则
??2011= ．
??12345
?? ?? 41352
76. 已知数列 ???? 满足 ??1=0，????+1=
2017??=1????= ．
78. 已知数列 ???? 满足 ????????+1= ?1 ?? ??∈??? ，??1=1，???? 是数列 ???? 的前 ?? 项和，则
??2015= ．
79. 已知数列 ???? 满足：??1=2，????+1=1?????，则 ??1??2??3???15= ；设 ????= ?1 ??????，数
??
????? 3 3????+1 ??∈??? ，则 ??20= ．
77. 在数列 ???? 中，??1=2，??2=8，对所有正整数 ?? 均有 ????+2+????=????+1，则
1+??
列 ???? 前 ?? 项的和为 ????，则 ??2016= ．
第7页（共25页）
,????是偶数2 80. 已知数列 ???? 的各项均为正整数，其前 ?? 项和为 ????，????+1= ．若 ??3=29，3????+1,????是奇数
则 ??2016= ．
81. 已知数列 ???? 中，??1=?? 0
????>1,
??∈??? ．若 ??3=1，则 3=
6?????+2,????≤1,
?????1,
????
??= ；记 ????=??1+??2+?+????，则 ??2016= ．
0
82. 数列 ???? 满足 ??1=3，????+1= ?? 那么 ??2016= ，数列 ???? 的前
?????1, ????>1 .
?? 项和 ????= ．
83. 若数列 ???? 满足：存在正整数 ??，对于任意的正整数 ??，都有 ????+??=???? 成立，则称数列 ????
?????1,????>1,
为周期为 ?? 的周期数列．已知数列 ???? 满足：??1=?? ??>0 ，????+1= 1,0
????
??
现给出以下三个命题：①若 ??=5，则 ??5=2；②若 ??3=3，则 ?? 可以取 3 个不同的值；③若
??= 3，则数列 ???? 是周期为 5 的周期数列．其中正确的命题的序号是 ．
84. 已知数列 ???? 中，??1=1，????+1= ?1 ?? ????+1 ，记 ???? 为 ???? 前 ?? 项的和，则
??2013= ．
85. 在平面直角坐标系中，有直线 ??:??=?? 和曲线 ??:??=1?，过点 ?1,0 做 ?? 轴的垂线交曲线 ??
??1
2
于点 ??1，过点 ??1 做 ?? 轴的平行线交直线 ?? 于点 ??1，再过点 ??1 做 ?? 轴的垂线交曲线 ?? 于点 ??2，再过点 ??2 做 ?? 轴的平行线交直线 ?? 于点 ??2，依次重复操作下去，记点 ???? 的纵坐标为 ????，数列
???? 的前 ?? 项和为 ????，则 ??2015= ，??2015= ．
86. 已知数列 ???? 满足 ?????????+1?????+2?????+3=24，且 ??1=1，??2=2，??3=3，则 ??1+??2+??3+
?+??2013= ．
87. 设 ?? ?? 表示正整数 ?? 的个位数，例如 ?? 23 =3，????=?? ??2 ??? ?? ，则数列 ???? 的前 2012
项和等于 ．
三、解答题（共13小题；共169分）
88. 已知数列 ???? 中，??1=1，??2=6，????+2=????+1?????，求 ??2010 的值．
89. 设函数 ?? ?? 定义如下表，数列 ???? ??∈??? 满足 ??1=1，且对于任意的正整数 ??，均有
????+1=?? ???? ，求 ??2011 的值．
??1234
?? ?? 2341
90. （1）定义一种运算“?”，对于正整数 ??，满足以下运算性质： ①1?1=1；② ??+1 ?1=3 ???1 ，猜想 ???1 的表达式．
（2）数列 ???? 满足 ??1=3，??2=6，????+2=????+1?????，求 ??2012．
91. 对于无穷数列 ???? ，记 ??= ??∣??=?????????,??
?????????=??（??,??∈??? 且 ??>??），必有 ????+1?????+1=??”，则称数列 ???? 具有性质 ?? ?? ．
2??,≤2（1）若数列 ???? 满足 ????= ，判断数列 ???? 是否具有性质 ?? 2 ?是否具有性质
2???5,≥3
?? 4 ?
第8页（共25页）
（2）求证：“?? 是有限集”是“数列 ???? 具有性质 ?? 0 ”的必要不充分条件；
（3）已知 ???? 为各项为正整数的数列，且 ???? 既具有性质 ?? 2 ，又具有性质 ?? 5 ，求证：存
在整数 ??，使得 ????，????+1，????+2，?，????+??，? 是等差数列．
92. 已知数列 ???? ，??1=1，??2??=????，??4???1=0，??4??+1=1（??∈???）．
（1）求 ??4，??7；
（2）是否存在正整数 ??，使得对任意的 ??∈???，有 ????+??=????． 93. 已知数列 ???? ， ???? 满足 ????=????+1?????，其中 ??∈???．
（1）若 ??1=1，????=??，求数列 ???? 的通项公式； （2）若 ????+1?????1=???? ??≥2 ，且 ??1=1，??2=2．
①记 ????=??6???1 ??≥1 ，求证：数列 ???? 为等差数列；
②若数列 ?? 中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项 ??1 应满足的条件．
????
94. 设数列 ???? 和 ???? 的项数均为 ??，则将数列 ???? 和 ???? 的距离定义为 ????=1∣?????????∣．
（1）给出数列 1，3，5，6 和数列 2，3，10，7 的距离； （2）设 ?? 为满足递推关系 ????+1=
1+????1?????
的所有数列 ???? 的集合， ???? 和 ???? 为 ?? 中的两个元
素，且项数均为 ??，若 ??1=2，??1=3， ???? 和 ???? 的距离小于 2016，求 ?? 的最大值； （3）记 ?? 是所有 7 项数列 ????∣∣1≤??≤7,????=0或1 的集合，?????，且 ?? 中任何两个元素的
距离大于或等于 3，证明：?? 中的元素个数小于或等于 16．
95. 已知数列 ???? 中，??1,??2,????? 是以 4 为首项、 ?2 为公差的等差数列，????+1,????+2,?,??2?? 是以 21
为首项、 为公比的等比数列 ??≥3,??∈??? ，且对任意的 ??∈???，都有 ????+2??=???? 成立，????
2
1
是数列 ???? 的前 ?? 项和． （1）当 ??=5 时，求 ??48 的值；
（2）判断是否存在 ??，使 ??64??+3≥230 成立，若存在，求出 ?? 的值；若不存在，请说明理由． 96. 数列 ???? 中，定义：????=????+2+?????2????+1 ??≥1 ，??1=1．
（1）若 ????=????，??2=2，求 ????；
（2）若 ??2=?2，????≥1，求证此数列满足 ????≥?5 ??∈??? ；
（3）若 ∣????∣=1，??2=1 且数列 ???? 的周期为 4，即 ????+4=???? ??≥1 ，写出所有符合条件的
???? ．
????
97. 已知数列 ???? 是无穷数列，??1=??，??2=??（??，?? 是正整数），????+1=
（1）若 ??1=2，??2=1，写出 ??4，??5 的值；
??
?????1
???1
????
?? ??
????
???1???1
????
>1 ,
≤1 .
（2）已知数列 ???? 中 ????=1 ??∈??? ，求证：数列 ???? 中有无穷项为 1；
（3）已知数列 ???? 中任何一项都不等于 1，记
????=max ??2???1,??2?? ??=1,2,3,?;max ??,?? 为??,??较大者 .求证：数列 ???? 是单调递减数
列．
98. 已知实数数列 ???? 满足：????+2=∣????+1∣????? ??=1,2,? ，??1=??，??2=??，记集合 ??=
????∣??∈??? ．
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（1）若 ??=1，??=2，用列举法写出集合 ??；
（2）若 ??<0，??<0，判断数列 ???? 是否为周期数列，并说明理由；
（3）若 ??≥0，??≥0，且 ??+??≠0，求集合 ?? 的元素个数的最小值． 99. 已知数列 ???? ,??1=1，??2??=????，??4???1=0，??4??+1=1， ??∈??? ．
（1）求 ??4，??7；
（2）是否存在正整数 ??，使得对任意的 ??∈???，有 ????+??=????；
1
（3）设 ??=10+1022+1033+?+10????+?，问 ?? 是否为有理数，说明理由．
????????
100. 已知 ???? 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前 ?? 项的最大值记为 ????，第 ?? 项之后各项
????+1，????+2，? 的最小值记为 ????，????=?????????．
（1）若 ???? 为 2，1，4，3，2，1，4，3，? 是一个周期为 4 的数列（即对任意 ??∈???，
????+4=????），写出 ??1，??2，??3，??4 的值；
（2）设 ?? 为非负整数，证明：????=??? ??=1,2,3,? 的充分必要条件为 ???? 为公差为 ?? 的等
差数列；
（3）证明：若 ??1=2，????=1 ??=1,2,3,? ，则 ???? 的项只能是 1 或 2，且有无穷多项为 1．
第10页（共25页）