又 1007=1008?1=4×252?1，故 ??2014=??1007=0． 64. 16
【解析】根据题意，数列 ???? 具有性质 ??，且 ??2=??5=2， 则有 ??3=??6=3，??4=??7，??5=??8=2，
若 ??6+??7+??8=21，可得 ??3+??4+??5=21，则 ??4=21?3?2=16，
进而分析可得：??3=??6=??9=?=??3??=3，??4=??7=??10=?=??3??+1=16，??5=??8=?=??3??+2=2 ??≥1 ， 则 ??2017=??3×672+1=16． 65. ?3 66. 28
【解析】依题意得数列 ???? 是周期为 3 的数列，且 ??1=1，??2=2，??3=4，因此 ??1+??2+??3+?+??12=4 ??1+??2+??3 =4× 1+2+4 =28 . 67. 2，0
【解析】提示：利用 ????+3=?????． 68. 961
【解析】方法一：由 ????=7??+2，????=??2 列出部分项得 ??=9,??2=16,??14=100,??17=121,??82=576, 1 易发现在数列 ???? 中符合条件的数呈周期变化，??3=9,??4=16,??10=100,??11=121,??24=576,
且周期为 7．每个周期内第 3，4 个数符合题意．故 ??9 是第 5 个周期的第 3 个数，即 ??9= 4×7+3 2=312=961．
方法二：令 ????=????，则 7??+2=??2，即 7 ???1 = ???3 ??+3 ．易知 ??+3 或 ???3 是 7 的整数倍，所以当 ??=3,4,10,11,17,18,24,25,31,32,? 时满足等式，故 ??9=312=961． 69. 2 70.
21
1
1
11?
1??????1
【解析】因为 ????+1=1???=
??
=1???
1
1
???1
=1?
1
11??????2
=?????2,
所以数列 ???? 是以 3 为周期的数列， 于是 2=??8=??2=1???，解得 ??1=2．
1
1
71. ?2520
【解析】由题意可知，??1=1，??2=2，??3=4，??4=8，??5=1，??6=2，??7=4，??8=8，??9=1，??10=2，??11=4，??12=8，??13=1，?，又 ???? 是 4 阶等和数列，因此该数列将会照此规律循环下去，同理，??1=?1，??2=?1，??3=1，??4=?1，??5=?1，??6=1，??7=?1，??8=?1，??9=1，??10=?1，??11=?1，??12=1，??13=?1，?，又 ???? 是 3 阶等积数列，因此该数列将会照此规律循环下去，由此可知对于数列 ????????? ，每 12 项循环一次，易求出 ??1???1+??2???2+?+??12???12=?15，因此 ??2016 中有 168 组循环结构，故 ??2016=?15×168=?2520． 72. 4
【解析】??2=?? ??1 =?? 2 =1，??3=?? ??2 =?? 1 =4，??4=?? ??3 =?? 4 =5，??5=?? ??4 =?? 5 =2=??1，从而数列是周期为 4 的数列，于是 ??2001=??502×4+3=??3=4． 73. 2
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1
【解析】由 ??11=2 及 ????+1=
11?????
，得 ??10=．同理 ??9=?1，??8=2，??7=，? 所以数列 ???? 是
2
2
12
11
周期为 3 的数列．所以 ??1=??10=． 74. 3
【解析】由题意知 ????+1+????=4，????+2+????+1=4 两式相减得 ????+2?????=0，????+2=????，因此数列 ???? 中项数为奇数的项相等，所以 ??2013=??1=3 . 75. 4
【解析】??2=?? ??1 =?? 2 =1，??3=?? ??2 =?? 1 =4，??4=?? ??3 =?? 4 =5，??5=?? ??4 =?? 5 =2=??1，从而数列 ???? 是周期为 4 的数列，于是 ??2011=??502×4+3=??3=4． 76. ? 3 77. 2
【解析】因为 ??1=2，??2=8，????+2+????=????+1， 所以 ????+2=????+1?????， 所以 ??3=??2???1=8?2=6，
同理可得 ??4=?2，??5=?8，??6=?6，??7=2，??8=8，?， 所以 ????+6=????， 又 2017=336×6+1，
所以 2017??=1????=336× ??1+??2+??3+??4+??5+??6 +??1=2． 78. ?1
【解析】因为数列 ???? 满足 ????????+1= ?1 ?? ??∈??? ，??1=1，所以 ??2=?1，??3=?1，??4=1，??5=1?，所以 ??4???3=1，??4???2=?1，??4???1=?1，??4??=1，??∈???．即数列各项的值呈周期性出现．所以 ??2015=503× 1?1?1+1 + 1?1?1 =?1． 79. 3，?2100 80. 4726
【解析】若 ??1=4??，则 ??2=2??，??3=??，此时 ??3=7??=29，由于 ?? 为正整数，此时无解；若 ??1=4??+1，则 ??2=12??+4，??3=6??+2，此时 ??3=22??+7=29，解得 ??=1，即 ??1=5；若 ??1=4??+2，则 ??2=2??+1，??3=6??+4，此时 ??3=12??+7=29，由于 ?? 为正整数，此时无解；若 ??1=4??+3，则 ??2=12??+10，??3=6??+5，此时 ??3=22??+18=29，由于 ?? 为正整数，此时无解．综上可知 ??1=5，则 ??2=16，??3=8，??4=4，??5=2，??6=1，??7=4，??8=2，??9=1，??10=4，??11=2，??12=1，??，该数列从第四项起呈现 4，2，1，4，2，1，? 的周期性，由于 ??1=4+1，??2=2+14，??3=1+7，则 ??1+??2+??3=22+7，其余每连续三项之和为 7，2016=3×672，故 ??2016=22+672×7=4726． 81. 3，1512
【解析】若 ??3=6，若 ??3=???2+2=6，则 ??2=3 舍 ；若 ??3=??2?1=6，则 ??2=6，符合．若 ??2=??1?1，则 ??1=
3
1
136
1
3
1
4
1
7
32
13
13
1
舍 ；若 ??2=???1+，则 ??1=，符合．故 ??1=??=．
33
3
因为 ??1=?? 0
当 ???+2≤1 即 2≤??≤1 时，??3=???2+2=??，??4=???+2，即此时数列 ???? 周期为 2，且 ??1+??2=2，所以 ??2016=2×1008=1512；
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3
3
当 ???+>1 即 0
2
2
2
2
31113
??5=??4?1=??，?，所以 ??5=??1，所以数列 ???? 周期为 4，又 ??1+??2+??3+??4=+++=3，
3
6
6
3
1
27
14
所以 ??2016=3×504=1512．
3??+3
82. 2，????=83. ①②③ 84. ?1005
3??2+4
2
,??为奇数
,??为偶数
【解析】提示： ???? 的前几项为 1,?2,?1,0,1,?2,?，易得周期为 4，一个周期的和为 ?2，故 ??2013=?2×503+1=?1005． 85. 2，1009 86. 5031
【解析】依题意可知 ?????????+1?????+2?????+3=24， 以 ??+1 代替 ??，得出 ????+1?????+2?????+3?????+4=24， 两式相除可推出 ????+4=????， 所以数列 ???? 是以 4 为周期的数列， 由题意知 ??4=4，
所以 ??2013=503× 1+2+3+4 +1=5031． 87. 2
【解析】?? 的个位数为 1 时有 ????=0， ?? 的个位数为 2 时有 ????=2， ?? 的个位数为 3 时有 ????=6， ?? 的个位数为 4 时有 ????=2， ?? 的个位数为 5 时有 ????=0， ?? 的个位数为 6 时有 ????=0， ?? 的个位数为 7 时有 ????=2， ?? 的个位数为 8 时有 ????=?4， ?? 的个位数为 9 时有 ????=?8， ?? 的个位数为 0 时有 ????=0， 每 10 个一循环，这 10 个数的和为 0． 且 ??2011=0，??2012=2，所以 ??2012=2． 第三部分
88. 设 ????=?? ?? ，
则 ?? ??+2 =?? ??+1 ??? ?? ，?? ??+3 =?? ??+2 ??? ??+1 . 将这两个等式相加可得 ?? ??+3 =?? ??+1 ??? ?? ??? ??+1 =??? ?? ． 所以 ?? ??+6 =??? ??+3 =?? ?? ，则函数 ?? ?? 是以 6 为周期的周期函数． 所以 ?? 2010 =?? 6×335 =?? 6 ，可解得 ??2010=??6=?5．
1
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89. 因为 ??1=1，
所以 ??2=?? ??1 =?? 1 =2， ??3=?? ??2 =?? 2 =3， ??4=?? ??3 =?? 3 =4， ??5=?? ??4 =?? 4 =1， ??6=?? ??5 =?? 1 =2，
?
不难看出数列 ???? 是以 4 为周期的周期数列， 所以 ??2011=??3=3．
90. （1） 设 ???1=????，则 ??+1 ?1=????+1， 所以 ??1=1，????+1=3????，即 所以 ????=
?????????1
????+1????
=3，
?
?????1?????2
? ? ?
??3??2
?
??2??1
???1=3×3×?×3×3×1=3???1，
即 ???1=3???1 ??∈??? ．
（2） 由 ??1=3，??2=6，????+2=????+1?????，得
??3=??2???1=6?3=3，??4=??3???2=3?6=?3，??5=??4???3=?3?3=?6，??6=??5???4=?6? ?3 =?3，??7=??6???5=?3? ?6 =3，??8=??7???6=3? ?3 =6，?． 所以数列是以 6 为周期的数列， 所以 ??2012=??6×335+2=??2=6．
91. （1） 数列 ???? 不具有性质 ?? 2 ；具有性质 ?? 4 ．
（2） （不充分性）对于周期数列 1，1，2，2，1，1，2，2，?，??= ?1,0,1 是有限集，但是由于 ??2???1=0，??3???2=1，所以不具有性质 ?? 0 ；
（必要性）因为数列 ???? 具有性质 ?? 0 ，所以一定存在一组最小的 ??,??∈??? 且 ??>??，满足 ?????????=0，，即 ????=????，
由性质 ?? 0 的含义可得 ????+1=????+1，????+2=????+2，?，??2??????1=?????1，??2?????=????，?
所以数列 ???? 中，从第 ?? 项开始的各项呈现周期性规律：????，????+1，?，?????1 为一个周期中的各项，
2
所以数列 ???? 中最多有 ???1 个不同的项，所以 ?? 最多有 C???1 个元素，即 ?? 是有限集．
（3） 因为数列 ???? 具有性质 ?? 2 ，数列 ???? 具有性质 ?? 5 ，
所以数列 ???? 中一定存在一项 ????，使得 ????+???????=2，????+???????=5，其中 ??，?? 分别是满足上述关系的最小的正整数，显然 ??≠??，
由性质 ?? 2 ，?? 5 的含义可得 ???∈??，????+??+???????+??=2，????+??+???????+??=5， 所以
????+?????????????+?????????
= ????+?????????+ ???1 ?? + ????+ ???1 ???????+ ???2 ?? +?+ ????+???????
=2??.
= ????+?????????+ ???1 ?? + ????+ ???1 ???????+ ???2 ?? +?+ ????+???????
=5??.
所以 ????+????=????+2??=????+5??，所以 2??=5??，
又 ??，?? 满足 ????+???????=2，????+???????=5 的最小的正整数，所以 ??=5，??=2，????+2?????=2，????+5?????=5，
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所以 ???∈??，????+2+???????+??=2，????+5+???????+??=5，
所以 ???∈??，????+2??=????+2 ???1 +2=?=????+2??，????+5??=????+5 ???1 +5=?=????+5??，取 ??=??+5，则 ???∈??，所以，若 ?? 是偶数，则 ????+??=????+??；若 ?? 是奇数，则 ????+??=????+5+ ???5 =????+5+ ???5 =????+5+ ???5 =????+??， 所以 ???∈??，????+??=????+??，
所以 ????，????+1，????+2，?，????+??，? 是公差为 1 的等差数列． 92. （1） 由题意知 ??4=??2=??1=1；??7=??4×2?1=0．
（2） 假设存在正整数 ??，使得对任意的 ??∈???，有 ????+??=????， 则存在无数个正整数 ??，使得对任意的 ??∈???，有 ????+??=????． 设 ?? 为其中最小的正整数，
若 ?? 为奇数，设 ??=2???1（??∈???），
则 ??4??+1=??4??+1+??=??4??+1+2??=??4 ??+?? ?1=0．与已知 ??4??+1=1 矛盾； 若 ?? 为偶数，设 ??=2??（??∈???）， 则 ??2??+??=??2??=????， 而 ??2??+??=??2??+2??=????+??，
从而 ????+??=????，而 ??
????
=??1+ ??2???1 + ??3???2 +?+ ??????????1 =1+1+2+3+?+ ???1
??2???+2=.
21
1
（2） ①??1=1，??2=2，??3=2，??4=1，??5=2，??6=2，??7=1，??8=2，??9=2，?． 由此可知：??6??+1=??6??+4=1， ??6??+2=??6??+3=2，
??6??+5=??6??+6=2，其中 ??∈???．
????+1?????
1
=??6??+5???6???1
5
= ??6??+?????6??+ ???1
=??6??+4+??6??+3+??6??+2+??6??+1+??6??+??6???1=7,
所以 ????+1?????=7，则 ???? 为等差数列． ②由①可知 ??6???5=??1+7 ???1 ， ??6???4= ??1+1 +7 ???1 ， ??6???3= ??1+3 +7 ???1 ， ??6???2= ??1+5 +7 ???1 ， ??6???1= ??1+6 +7 ???1 ， ??6??= ??1+
132
??=0
+7 ???1 ．
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