答案
第一部分 1. D 2. D 6. C 10． 8. A
【解析】因为 ??1=2，由题意知 ????+1=?? ???? ，
所以 ??2=?? ??1 =?? 2 =4，??3=?? ??2 =?? 4 =8，??4=?? ??3 =?? 8 =2，??5=?? ??4 =?? 2 =4， 所以数列 ???? 是周期为 3 的周期数列，
所以 ??1+??2+??3+??4+?+??2012+??2013=671 ??1+??2+??3 =671× 2+4+8 =671×14=9394． 9. A
10. A
??2??1
【解析】数列 ?1 ?? 既是周期为 2 的周期数列，又是摆动数列． 3. A 7. D
4. C
5. D
【解析】因为 ??1=0，??2=2，??3=6，??4=2，??5=0，??6=0，??7=2，??8=?4，
??9=?8，??10=0 ，数列 ???? 的前 10 项和为 0，又数列 ???? 是周期为 10 的周期数列，所以 ??2015=
【解析】由已知 ??3==，??4=
2
3
??3??2
=，??5=
2
1
??4??3
=，??6=
3
1
??5??4
=，??7=
3
2
??6??5
=2，??8=
??7??6
=3，所以
数列 ???? 具有周期性，??=6，所以 ??2018=??336×6+2=??2=3．
11. B 【解析】因为在数列 ???? 中，若对任意的 ??∈??? 均有 ????+????+1+????+2 为定值，所以 ????+3=????，即数列各项是以 3 为周期的周期数列．因为 ??7=2，??9=3，??98=4，所以 ??1+??2+??3=2+4+3=9，所以 ??100=33× ??1+??2+??3 +??100=33×9+2=299．
12. D 【解析】根据 ??0=6，????+1=?? ???? ，有 ??1=4，??2=?? ??1 =2，??3=?? ??2 =1，??4=?? ??3 =5，??5=?? ??4 =6，所以可知 ????+5=????，??2014=??402×5+4=??4=5． 13. D 【解析】因为 ????+1=1???，??1=2，
??
1
所以 ??2=1?=，??3=1?2=?1，??4=1?
2
2
111?1
=2．
由此可见，数列 ???? 的项是以 3 为周期重复出现的， 所以 ??2012=??670×3+2=??2=2 14. B 【解析】由题意知，因为 ????+1=15. D
16. D 17. B 【解析】由 ????=????+1+1 得 ????+1=1?????．
??+1
??
1
????? 3 3???? ??∈??? ，所以 ??1=0，??2=? 3，??3= 3，??4=0，
+1??5=? 3，??6= 3? 故此数列的周期为 3．所以 ??20=??2=? 3．
??
?112
1+??
因为 ??1=2，所以 ??2=?3，??3=?，??4=，??5=2，??6=?3．
3
1
故数列 ???? 具有周期性，周期为 4，因为 ??1??2??3??4=1，所以 ??2016=??4=??1??2??3??4=1． 18. B 【解析】因为在数列 ???? 中，??1=1，??2=5，????+2=????+1????? ??∈??? ，
所以 ??3=??2???1=4，同理可得 ??4=?1，??5=?5，??6=?4，??7=1，??8=5，???，可得 ????+6=????．则 ??100=??16×6+4=??4=?1 .
2， 19. C 【解析】因为 ??1=2，????+1=2+ ?????????
1
1
所以 ??2=1，
第11页（共25页）
从而 ??3=，??4=1，??，
2
1
,??=2???1 ??∈??? 可得 ????= 2，
?
1,??=2?? ??∈??
故数列的前 2016 项的和 ??2016=1008× 1+ =1512．
220. B
21. A 22. B 【解析】设数列 ???? 的首项为 ??，则 ??2=1???，??3=???，??4=??+1，??5=??，所以数列 ???? 是周期为 4 的周期数列，所以 ??2017=??1=2．
23. A 24. A 【解析】依题意得 ????+2=????+1?????=??????1，即 ????+3=?????，????+6=?????+3=????，即数列 ???? 的项是以 6 为周期的重复出现，且 ??1+??2+??3+??4+??5+??6= ??1+??4 + ??2+??5 + ??3+??6 =0 ．注意到 102=6×17 ．因此 ??102=17×0=0 ． 25. C
【解析】因为 ????+1=?? ???? ，??0=5，所以 ??1=?? ??0 =?? 5 =2，??2=?? ??1 =?? 2 =1，??3=?? ??2 =?? 1 =4，??4=?? ??3 =?? 4 =5，?，所以 ???? 是以 4 为周期的周期数列．??2011=??502×4+3=??3=4．
26. D 27. C 【解析】由 ??1=0，????+1=
????? 3 3????+11+??
1
???1
1
1
??∈??+ ，得 ??2=? 3，??3= 3，??4=0，
? ．由此可知：数列 ???? 是周期数列，且周期为 3，所以 ??2007=??3×669=??3= 3 ．
28. D 【解析】由图可知，第一列座位是除 5 余 1 的数；第二列座位是除 5 余 2 的数；第三列座位是除 5 余 3 的数；第四列座位是除 5 余 4 的数；第五列座位是除 5 余 0 的数．所以 48,49 与座位号 3,4 是一样的座次，不满足靠窗；62,63 与座位号 2,3 是一样的座次，都在过道；75,76 座位号与 5,6 的座位号是一样的，两个都靠窗；84,85 与座位号 4,5 是一样的座次，满足相邻且有一个靠窗． 29. D 【解析】由已知，??2=
1
11?2=2，??3=1?2=?1，??4=1+1=2，??，依此规律数列 ???? 周期
111
为 3，又 2015=3×671+2，故 ??2015=??2=2． 30. B
【解析】因为 ????+????+1+????+2 为定值，所以 ????+????+1+????+2=????+1+????+2+????+3，所以 ????=????+3，所以数列 ???? 的周期为 ??=3，所以 ??7=??2×3+1=??1=2，??9=??2×3+3=??3=3，??98=??32×3+2=??2=4，所以 ??100=33 ??1+??2+??3 +??100=33 ??1+??2+??3 +??1=33× 2+4+3 +2=299．
31. D 【解析】对于数 25，第一次操作为 23+53=133；第二次操作为 13+33+33=55；第三次操作为 53+53=250；第四次操作为 23+53+03=133，?，所以此操作过程是以 3 为周期，所以第 2014 次操作与第一次操作的结果一样，为 133．
32. A 【解析】由已知可得 ??1=?1，??2=2，??3=2，??4=?1=??1，所以数列 ???? 是以 ??=3 为周期的周期数列，所以 ??2015=??671×3+2=??2=2．
33. B 【解析】由已知可得 ??1=0，??2=1，??3=3，??4=2，??5=0，所以数列 ???? 的最小正周期为 ??=4，所以 ??2015=??503×4+3=??3=3．
34. B 【解析】第 1 次运算：??1=1???=1?2=?1，??=1；
0
1
4
4
11
第12页（共25页）
第 2 次运算：??2=第 3 次运算：??3=
11???111???2
==
11? ?1 11?
12
=，??=2；
2
1
=2=??0，??=3；
1
???? 是周期为 3 的周期数列，??2015=??3×671+2=??2=，??=2015；
2所以 ??=2015 满足要求． 35. C
36. C 37. C 38. C 【解析】由 ??1=2 及递推公式，得 ??2=?3，??3=?2，??4=3，??5=2，?．由此， ???? 是以 4 为周期的数列，所以 ??15=??3=?2． 39. A 40. D
【解析】由递推公式得 ??2=2,??3=?1,??4=2,…，故数列 ???? 是周期为 3 的周期数列，从而 ??2016= ?1 672=1．
41. D 【解析】由 ??1=1，??2=5，????+2=????+1????? ??∈??+ 可得该数列为 1，5，4，?1，?5，?4，1，5，4，?，则该数列以 6 为周期，由此可得 ??1000=??4=?1 .
42. A 【解析】由条件可得 ??1=?2 ， ??2=?3 ， ??3=2 ， ??4=3 ， ??5=?2 ， ??6=?3 ， …，所以数列 ???? 是以 4 为周期的数列，因为 2013÷4=503??1，所以 ??2013=??1=?2 . 43. A 【解析】由已知得
????+1=?
则
11
=?,??1+1??+111??+1
??3=?=?=?,1??2+1???+1 ??2=?
11??4=?=???+1=??,
??3+1?+1???
由此得
????+3=????
从而
??16=??3×5+1=??1=??,
故 ?? 的值可以为 16．
44. D 【解析】对于A，当 ??3=4 时，??2=4,5，??1=??=4,5,6；?? 可取 3 个不同的值，正确． 对于B，数列 ???? 为 2, 2?1, 2+1, 2, 2?1, 2+1,?，于是 ???? 周期为 3，正确．
对于C，取 ??1=??+??，其中 ??∈???，0≤??<1，则 ??1>1，????+1=??，????+2=．为了使得周期为
??1
1
1
51
????+1
1
1
1
1
1
1
1
1
, ????+1??，只需要 ??=???1，且 =??+?? 即可，此方程一定有解，C正确．
??
对于D，类似对C的分析，考虑方程 ??=??+??，有 ??=
2 ??2+4+??1???+ ??2+42
（负根舍去），因此 ??=
．当 ??≥2 时，??≥2，此时 ??2+4 必然为无理数，与 ?? 是有理数矛盾，因此D错误．
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45. D
【解析】若该数列的周期是 1，则该数列是常数数列，即数列的每一项都是 1，又 ????+1=∣??????????1∣ ??≥2,??∈?? ，则该数列是 1，1，0，1，1，0，?，该数列是以 3 为周期的周期数列与常数数列矛盾舍去；
若该数列的周期是 2，有 ??3=??1，即 ∣???1∣=1，解得 ??=2 或 ??=0（舍去），所以该数列为 1,2,1,1,0,1,1,0?，此时数列的周期不是 2；
若该数列的周期是 3，则 ??4=??1，??5=??2，由 ????+1=∣??????????1∣ ??≥2,??∈?? ，得 ??3=???1 或 ??3=1???．当 ??3=???1 时，有 ??4=1，??5=∣2???∣，又 ??5=??2，解得 ??=1，此时该数列为 1,1,0,1,1,0,1,1,0,?；当 ??3=1???，此时 ??4=∣1?2??∣，解得 ??=1 或 ??=0（舍去）；当 ??=1 时，此时数列为 1,1,0,1,1,0,1,1,0,?，此时数列的周期是 3，满足题意；综上所述，数列 ???? 的周期为 3 时，该数列的前 2015 项的和是 671×2+2=1344．
46. A 【解析】由题意可得 ??1=7，??2=7，??3=7，??4=7，??5=7，?，所以 ???? 是周期为 3 的数列，所以 ??2014=．
76
6
5
3
6
5
47. A【解析】注意到 ????=??2cos
1
1
2??π3
，且函数 ??=cos
2π??3
的最小正周期是 3，因此当 ?? 是正整数时，
????+????+1+????+2=?2??2?2 ??+1 2+ ??+2 2=3??+2，其中 ??=1,4,7,?，
??30
= ??1+??2+??3 + ??4+??5+??6 +?+ ??28+??29+??30
777
= 3×1+ + 3×4+ +?+ 3×28+
22210× 1+28 7=3×+×10=470.
2267
12
67
127
57
12
7
48. A 【解析】因为 ??1=∈ ,1 ， 所以 ??2=2??1?1=2×?1=??3=2??2?1=2×7?1=??4=2??3=∈ ,1 ，
7
26
1
5
10?77
?1=∈ ,1 ，
3
1
=7∈ 0,2 ，
所以 ???? 是以 3 为周期的周期数列． 所以 2005=668×3+1， 所以 ??2005=??1=7．
49. C 【解析】??+??=1，??2+??2=3，??3+??3=4，??4+??4=7，??5+??5=11，?， 通过观察发现，从第 3 项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和，
因此，??6+??6=11+7=18，??7+??7=18+11=29，??8+??8=29+18=47，??9+??9=47+29=76，??10+??10=76+47=123． 50. A
【解析】??1=1，??2=2+ 3，??3=?2? 3，??4=?1，??5=?2+ 3，??6=2? 3，??7=1=??1，所以
??1+??2+?+??2011=335× ??1+??2+??3+??4+??5+??6 +??1=1.
6
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第二部分 51. 3
【解析】由题意知 ??1=2，????+????+1=5，所以 ??2=3，??3=2，??4=3，?，??18=3． 52. ? 3 【解析】由 ??1=0，????+1=所以 ??20=??2=? 3． 53. ?1
【解析】由已知可得，??2=?? ??1 =?? 1 =0，??3=?? ??2 =?? 0 =?1，??4=?? ??3 =?? ?1 =1=??1，故数列 ???? 的周期为 3，??2016=??3=?1． 54. 1 55. ?4 56. 3 57. ?100 58. 2
【解析】因为 ?? 与 ??+10 的个位数字相同且周期为 10，
又 ??1=0，??2=4?2=2，??3=9?3=6，??4=6?4=2，?，??10=0， 所以 ??1+??2+?+??10=0，
即 ??1+??2+?+??2012=??1+??2=2． 59. 1，3
【解析】??2=?? ??1 =?? 3 =1，??3=?? ??2 =?? 1 =3，??4=?? ??3 =1，??，数列 ???? 为周期数列，????= 60. 1，0
【解析】由条件可知，数列的奇数项容易确定，偶数项可以对项数进行对半处理，直到为奇数为止．2009=4×503?3，故 ??2009=1；2014=2×1007，故 ??2014=??1007=??4×252?1=0． 61. 3
【解析】由题意可得，??2=1504???1??2??3=3． 62.
54
25
45
1+??11???1????? 3 3????+1 ??∈??? ，得 ??2=? 3，??3= 3，??4=0，?，数列的周期为 3，
3,??为奇数,，所以 ??2015=3．
1,??为偶数
=?3，??3=
1+??21???2
=?，??4=
2
1
1+??31???3
=，??5=
3
1
1+??41???4
=2=??1，所以数
列 ???? 是以 4 为周期的数列，而 2019=4×504+3，??1??2??3??4=1，所以前 2019 项的乘积为
【解析】根据已知条件，先将 ??1 代入递推公式求 ??2，再将 ??2 代入求 ??3?? 可得 ??1=，??2=，??3=，??4=，??5=?? 可以看出，该数列每 4 项为一个周期重复出现，从而 ??2014=??503×4+2=??2=5． 63. 1，0
【解析】2009=2012?3=4×503?3， 故 ??2009=1．
由 ??2??=????，知 ??2014=??1007，
54
5
5
3
1
2
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