燕山地区2013—2014学年度第一学期期末考试
数学试卷答案及评分参考 2014年1月
一、选择题（本题共32分，每小题4分） 题 号 答 案 1 2 3 4 5 6 7 8 B D C A B A C C 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 题 号 答 案 9 10 11 12 2:3 y1?y2 3 (1)23；(2)23n 注：第12题（1）2分（2）2分. 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：2sin30°＋2cos45°－3tan60°．
． ?2?12?2??3?3 ????????3分 22?1?1?3 ????????4分 ??1 ????????5分
14．解：(1) ∵抛物线y?x?bx?c过（2，－1）和（4 , 3）两点，
2???1?2?2b?c∴? ????????1分 2??3?4?4b?c2∴??b??4 ????????2分
?c?32 ∴这个抛物线的解析式为y?x?4x?3. ????????3分
（2）新抛物线的解析式为y?(x?3)?4 或y?x?6x?5． ???5分 15. 解：在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 9, cosA =
22AC3=， ???????1分 AB5 ∴AB = 15， ???????2分
BC?AB2?AC2?152?92?12， ???????3分 AC93∴ tanB===． ????????5分
BC124
16.（1） △AEB ∽ △CBA . ????????1分 （或△AEB∽△BFC；△AEB∽△ADC；△CAB∽△BFC；△BFC∽△ADC . ）
证明：∵四边形ABCD和四边形AEFC是矩形，
∴∠E =∠CBA=∠EAC=90°. ????????2分 ∵∠EAB+∠CAB=90°，
∠EAB+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠CAB.
∴△AEB ∽ △CBA. ????????3分 （2）解：∵△AEB ∽ △CBA，
AEAB? . ????????4分CBCA
∴AE?CA?CB?AB.
∵S四边形ABCD?AB?CB?20，
∴
网Z*X*X*K]
[来源:学*科*
y321B-3-2-1O1-1C-2A-323A1C1B1x∴S四边形AEFC?AE?CA?20. ????????5分
17.（1）
????????3分
（2）点A2的坐标（2，-3）； ????????4分
h的取值范围是4.5 18.（1）证明（一）：在⊙O中，∵弦 BD = BA，∴弧BD等于弧AB， ????1分 ∴∠BCA =∠BAD. ???????2分 证明（二）：∵∠BCA =∠BDA， ???????1分 ∵ BD = BA， ∴∠BAD =∠BDA， ∴∠BCA =∠BAD. ???????2分 （2）在Rt?ABC中，∠ABC = 90°， AC = 13，BC =5， ∴BD?AB?AC2?BC2?132?52?12， ???????3分 ∵ BE⊥DC，∴∠E= 90°， ∵∠EDB =∠BAC. ???????4分 ∴△DEB∽△ABC， ∴ DEDB?， ABAC144. ???????5分 1322∴DE?四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19.（1）证明：y?a(x?2)?a(x?2)?ax?5ax?6a. ∵a?0 ??25a2?24a2?a2?0， ???????1分 ∴方程ax?5ax?6a?0有两个不相等的实数根. ∴不论a为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点. ???2分 （2）∵y?a(x?2)?a(x?2)?ax?5ax?6a?a(x?)? ∴顶点C的坐标为(,?2225221a， 4521a). ???????3分 4当y?0时，a(x?2)2?a(x?2)?0， 解得x1?2,x2?3，所以AB?1. 当△ABC的面积等于2时， ∴a?16 ∴a??16或a?16. ???????5分 20.（1）证明：连接OC， ∵OC?OB， ∴?B??OCB. ???????1分 ∵DC?DQ， 11?1??a?2， 24 ∴?Q??QCD. ∵PQ?AB，∴?QPB?90?. ∴?B??Q?90?. ∴?OCB??QCD?90?. ∴ AQDCBPO?DCO??QCB?(?OCB??QCD)?180??90??90?， ?????2分 ∴OC?CD ∵OC是⊙O的半径， [来源:学科网ZXXK] ∴CD是⊙O的切线. ?????3分 （2）连接AC， 在Rt?BPQ中，BQ?BP6??10， ?????4分 sinQ35∴cosB?BP63??， BQ105∵AB是⊙O的直径， ∴?ACB?90?. 在Rt?ABC中， ∴BC?ABcosB?(AP?PB)cosB?(1?6)?∴QC?BQ?BC?10?321?. 552129?. ?????5分 5521.解：（1）y??3x?138； ?????2分 （2）每天获得的利润P?(?3x?138)(x?30) ?????3分 ??3x?228x?4140 ??3(x?38)?192 ?????4分 答：每件的销售价格定为38元时，每天获得的利润最大. ?????5分 22. 解：（1）DE?CD=CF?AD； ???????1分 （2）当?B??EGC?180?时，DE?CD=CF?AD成立. ?????2分 证明如下：如图，在AD的延长线上取点M， 22A FGCDMEB 使CF?CM，连接CM， 则?CMF??CFM. ∵AB//CD， ∴?A??CDM. ∵AD//BC， ∴?A??B?180?. ∵?EGC??B?180?， ∴?A??EGC. ∵?EGC??FGD，∴?CFM??AED，∴?AED??CMF， ∴?ADE∽?DCM，∴ DEADDEAD??，即， CMDCCFDC∴DE?CD=CF?AD. ???????3分 （3） DE25的值为． ???????5分 CF24 （提示：连接AC,BD.证?BDE∽?ACF即可） 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23.解：（1）点A的坐标为(?15,0)，点C的坐标为(0,?) ???????2分 24（2）在y轴的正半轴上存在符合条件的点P，设点P的坐标为(0,yp) ???????3分 ∵A(?15,0)，C(0,?)， 2415∴OA?，OC?，OP?yP． 24∵?AOP∽?AOC，∴∴yP?OPAO?， ???????4分 OCAO55，∴P(0,)． ???????5分 44∵?POA∽?AOC，∴∴yP?POOA?， ???????6分 AOOC11，∴P(0,)． ???????7分 5551∴符合条件的点P有两个，P(0,)或P(0,)． 45 24. （1）①解：S?BDC=S?AEC； ???????2分 ②证明：∵?DCE??ACB?90?， ∴?DCM??ACE?180?． ∵?ACN??ACE?180?， ∴?ACN??DCM． ???????3分 ∵?CNA??CMD?90?,AC?CD， ∵?ANC≌?DMC． ???????4分 ∴AN?DM． ∵BC?EC， ∴S?BDC=S?AEC． ???????5分 243或3． ???????7分 33 （提示：如图所示，作DF1//BC交BA于点F1； 作DF2?BD交BA于点F2．BF1,BF2 （2）解：BF?即为所求．） 25.解：（1）“蛋圆”抛物线部分的解析式为 2AF2F1Dy??x?2x?8， ???????2分 自变量的取值范围是?2?x?4； ???????3分 （2）如图，连接CM，设过点C的“蛋圆”切线与x轴的交点为E． ∴CM?CE． ???????4分 ∵OC?ME， y在Rt?COM中，∵OM?1，CM?3， D∴OC?CM2?OM2?32?12?22， ???????5分 ∵?COM∽?EOC， ∴OC?OM?OE，∴OE?8． ∴点E的坐标为（-8.，0）． ?????6 分 （3）设过点D(0,8)，“蛋圆”切线的解析式为 2BECEAOCBMxy?kx?8(k?0)． 由题意得，方程组?分 即kx?8??x?2x?8有两个相等实根， ∴k?2 ∴过点D“蛋圆”切线的解析式为y?2x?8． ??????8分 (注：本卷中许多试题解法不唯一,请老师们根据评分标准酌情给分) 2?y?kx?8,?y??x?2x?8.2只有一组解， ??????7