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求△ABC的周长； (2)求cos(A－C)的值．
1
【解答】 (1)∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－4×＝4，
4
∴c＝2，∴△ABC的周长为a＋b＋c＝1＋2＋2＝5. 1
(2)∵cosC＝，∴sinC＝1－cos2C＝
415asinC415∴sinA＝＝＝. c28
∵a 1151－??2＝， ?4?4 ?15?27 ?＝. ?8?8 71151511 ∴cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC＝×＋×＝. 848416 2. 在?ABC中，角A,B,C对的边分别为a,b,c，且c?2,C?60? （1）求 a?bsinA?sinB的值； （2）若a?b?ab，求?ABC的面积S?ABC。 解：（1）由正弦定理可设 asinA?bsinB?csinC?2sin60??232?433， 所以a?433a?bsinA,b?433sinB， 43所以 sinA?sinB?23(sinA?sinB)?433sinA?sinB22． ???????6分 （2）由余弦定理得c?a?b?2abcosC， 222即4?a?b?ab?(a?b)?3ab， 2又a?b?ab，所以(ab)?3ab?4?0， 解得ab?4或ab??1（舍去） 所以S?ABC?12absinC?12?4?32?3． ??3．设?ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知sin?A?（Ⅰ）求角Ａ的大小； （Ⅱ）若a?2，求b?c的最大值. ????cosA． 6?本小题主要考查两角和与差的三角函数公式、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想． 解法一：（Ⅰ）由已知有sinA?cos?6?cosA?sin?6?cosA， 本卷第6页（共25页） www.tesoon.com 天星教育网，因你而精彩！版权所有，侵权必究！ 故sinA?3cosA，tanA?3. 又0?A??，所以A??3. 43a?sinCsinA43（Ⅱ）由正弦定理得b?a?sinBsinA?sinB,c??sinC， 故b?c?43?sinB?sinC?.????????????8分 2?2?33?2??sinB?sinC?sinB?sin??B??sinB?sin?cosB?cos?sinB?sinB?cosB 3322?3?????3sin?B??．????????????10分 6???6). 所以b?c?4sin(B?因为0?B??62?3?，所以 ?6?B??6?5?6. ∴当B??2即B??3时，sin?B??????取得最大值1，b?c取得最大值 6?４. ????12分 解法二：（Ⅰ）同解法一． （ 2Ⅱ 2）由余弦定理a?b?c?2bccosA222得， 4?b?c?bc，????????????8分 2所以4?(b?c)?3bc，即(b?c)?3(2b?c2)?4，????????????10 2分 2(b?c)?16，故b?c?4. 所以，当且仅当b?c，即?ABC为正三角形时，b?c取得最大值４. ????12分 4，在?ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c， 已知cos2C??14. （1）求sinC的值； （2）当a?2，2sinA?sinC时，求b及c的长. 本卷第7页（共25页） www.tesoon.com 天星教育网，因你而精彩！版权所有，侵权必究！ （1）解：因为cos2C?1?2sin2C??10414，及0?C??， 所以sinC?. （2）解：当a?2,2sinA?sinC时， 由正弦定理 asinA?csinC，得c?4. 14,及0?C?? 由cos2C?2cos2C?1??64得cosC??. 由余弦定理c2?a2?b2?2abcosC， 得b?解得b???b???c?426b?12?0， 6或26 所以?6,??b?26 或???c?4..解：(1) 证明：∵EC//PD，PD?平面PDA， EC?平面PDA∴EC//平面PDA, 同理可得BC//平面PDA ----------2分 ∵EC?平面EBC,BC?平面EBC且EC?BC?C ∴平面BEC//平面PDA -------4分 又∵BE?平面EBC ∴BE//平面PDA -------6分 (2)∵PD?平面ABCD，PD?平面PDCE ∴平面PDCE?平面ABCD ∵BC?CD ∴BC?平面PDCE----------8分 ∵S梯形PDCE?1213(PD?EC)?DC?12?3?2?3------10分 ∴四棱锥B－CEPD的体积 VB?CEPD?S梯形PDCE?BC?13?3?2?2.----------12分 5，已知?ABC中，a、b、c是三个内角A、B、C的对边，关于x的不等式 xcosC?4xsinC?6?0的解集是空集． （1）求角C的最大值； 733，求当角C取最大值时a?b的值． （2）若c?，?ABC的面积S?222本卷第8页（共25页） www.tesoon.com 天星教育网，因你而精彩！版权所有，侵权必究！ 解：（1）显然cosC?0 不合题意，则有??cosC?0???0，---------------------2分 ?cosC?0?cosC?01?即?， 即， 故，--4分 cosC??122?16sinC?24cosC?0?cosC??2或cosC??2∴角C的最大值为60?。????????------------------------------------6分 （2）当C=60?时，S?ABC?12absinC?34ab?323，∴ab?6-------------8分 由余弦定理得c2?a2?b2?2abcosC?(a?b)2?2ab?2abcosC， ∴(a?b)2?c2?3ab?16．在?ABC中， 121214，∴a?b?2112。 cos2A?cosA?cosA． （I）求角A的大小； （II）若a?3，sinB?2sinC，求S?ABC． 解：（I）由已知得：(2cos2A?1)?cos2A?cosA， 21 ?cosA? （II）由 b?12. ?0?A??， ?A?c?3.??????5分 ?2 sinBsinCsinCc? b?2c ??????8分 ? 可得： sinBb cosA?b?c?a2bc222?4c?c?94c12222?12 ??????10分 1232332 解得：c?3 , b?23 S?bcsinA?π2?23?3?? 6．已知函数f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0,|?|?,x?R) 的图象的一部分如下图所示． （I）求函数f(x)的解析式； （II）求函数y?f(x)?f(x?2)的最大值与最小值． I）由图象，知A＝2， ∴??π42π??8． π，得f(x)?2sin(x??)．?????????????????2分 4π4?1???π2当x?1时，有∴?? π4 ． ． ????????????????????????4分 本卷第9页（共25页） www.tesoon.com 天星教育网，因你而精彩！版权所有，侵权必究！ ∴f(x)?2sin(x?4ππ4)． ????????????????? 5分 π4π4(x?2)?x?π4π4] （II）y?2sin(x?4ππ4π4)?2sin[ ?2sin(x?4?22sin(?22cosπ4π4π)?2cos(π2) ) ???????????7分 x?x ???????????????????10分 ∴ymax?22，ymin??22． ? 7．已知函数f(x)?2sin(??x)cosx. （Ⅰ）求f(x)的最小正周期； ????,?上的最大值和最小值. ?62?（Ⅱ）求f(x)在区间?? 16解析：（Ⅰ）∵f?x??2sin???x?cosx?2sinxcosx?sin2x， ∴函数f(x)的最小正周期为?. ?6（Ⅱ）由??x??2???3?2x??，∴?32?sin2x?1， ∴f(x)在区间??3????. ,?上的最大值为1，最小值为?262??2228．在?ABC中，a、、B、C的对边，且满足b?c?a?bc. bc分别为角A、（Ⅰ）求角A的值； （Ⅱ）若a?3，设角B的大小为x,?ABC的周长为y，求y?f(x)的最大值. 222（Ⅰ）在?ABC中，由b?c?a?bc及余弦定理得cosA? 而0?A??，则A??3b?c?a2bc222?12?2分 ?3； b csinCasinA332?????4分 （Ⅱ）由a?3,A?及正弦定理得 sinB????2， ??6分 本卷第10页（共25页）