www.tesoon.com 天星教育网，因你而精彩！版权所有，侵权必究！
f(A)?2sin(2A??sin(2A??6)?3?4?6)?12
又?A为?ABC的内角
??6?2A??65?6?7?6?2A??6
??A??3
33????10分
?S?ABC??12,b?1 32bcsinA??c?2 ?a2????12分
22?b?c?2bccosA?4?1?2?2?1?12?3
?a?3
29．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为CC1的中点．
D1
求证：（1）AC1∥平面BDE；（2）A1E?平面BDE．
（1）证明：连接AC，设AC∩BD＝O．由条件得ABCD为正方形， 故O为AC中点．因为E为CC1中点，所以OE∥AC1． 因为OE?平面BDE，AC1?/平面BDE．所以AC1∥平面BDE．
（2）连接B1E．设AB＝a，则在△BB1E中，BE＝B1E＝2a，BB1＝2a．所以BE2＋B1E2＝BB12． 所以B1E?BE．由正四棱柱得，A1B1?平面BB1C1C，所以A1B1?BE． 所以BE?平面A1B1E．所以A1E?BE．同理A1E?DE．所以A1E?平面BDE． 30．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km，BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A、B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污
A 本卷第21页（共25页）
C1
B1 E
A1 D A
B
C
D P O C
B
www.tesoon.com 天星教育网，因你而精彩！版权所有，侵权必究！
管道AO、BO、OP，设排污管道的总长为ykm。 （1）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式； ②设OP=x(km)，将y表示成x的函数关系式；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短
【解析】本小题主要考查函数最值的应用．
（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=?(rad) ，则OA?OB?10cos?AQcos??10cos?, 故
，又OP＝10?10tan?，
10cos??10cos??10?10tan?，
所以y?OA?OB?OP?所求函数关系式为y?20?10sin?cos?????10?0????
4??②若OP=x(km) ，则OQ＝10－x，所以OA =OB=2?10?x?2?10?22x?20x?200
所求函数关系式为y?x?2x?20x?200?0?x?10?
'（Ⅱ）选择函数模型①，y?'?10cos??cos???20?10sin?cos?2???sin???10?2sin??1?cos?2
令y?0 得sin ????12，因为0????4，所以?=
?6，
????',?时，y?0 ，y是?的增函?64?当???0,??6??时，y?0 ，y是?的减函数；当???'数，所以当?=
?6时，ymin?10?103。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域
内且距离AB 边1033km处。
31．设三角形ABC的内角A,B,C,的对边分别为a,b,c, a?4,c?（1）求b边的长； （2）求角C的大小. （3）如果cos(x?C)?解：（1）依正弦定理
asinA45?(?13,sinA?4sinB．
?2?x?0),求sinx.
bsinB有bsinA?asinB
本卷第22页（共25页）
www.tesoon.com 天星教育网，因你而精彩！版权所有，侵权必究！
又a?4,sinA?4sinB，∴b?1 ??????????4分
a?b?c2ab222（2）依余弦定理有cosC??16?1?132?4?1?12
又0?＜C＜180?，∴C?60? ????????9分
353?4310sin(x?C)?,sinx?[(x?C)?C]?(3)由已知得?
?32．?ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，向量m?(?1,1)，
?n?(cosBcosC,sinBsinC?32??)，且m?n．
（1）求A的大小；
（2）现在给出下列三个条件：①a?1；②2c?(3?1)b?0；③B?45?，试从中再选择两个条件以确定?ABC，求出所确定的?ABC的面积．
（注：只需要选择一种方案答题，如果用多种方案答题，则按第一方案给分）．
3????cosBcosC?sinBsinC??0m?n2解：（1）因为，所以
cosBcosC?sinBsinC??32，所以
cos(B?C)??32
即：
因为A?B?C??，所以cos(B?C)??cosA
32?cosA?,A?30所以 6分
?（2）方案一:选择①②，可确定?ABC，因为A?30,a?1,2c?(3?1)b?0
1?b?(223?126?2b)?2b?23?12b?32
由余弦定理，得：
b?2,b?22,c?2整理得：
S?ABC?12bcsinA?12?
6?221??2?2?3?14所以 12分
??A?30,a?1,B?45,C?105方案二:选择①③，可确定?ABC，因为
???????sin105?sin(45?60)?sin45cos60?cos45sin60?6?42又
本卷第23页（共25页）
www.tesoon.com 天星教育网，因你而精彩！版权所有，侵权必究！
c?asinCsinA?1?sin105sin3012???6?22222由正弦定理
S?ABC?12
?3?14acsinB??1?6?2?所以
cosAcosBba43（注意;选择②③不能确定三角形）
33．在?ABC中，三个内角A,B,C所对应的边为a,b,c，其中c?10，且（1）求证：?ABC是直角三角形；
?（2）若?ABC的外接圆为?O，点P位于劣弧?AC上，?PAB?60，求四边形ABCP的
??。
面积。 ．解：（1）由
cosAcosB?ba?43,得acosA?bcosB?sin2A?sin2B,???? 2分
所以2A???2B或A?B，???????????? 4分 但a?b，故A?B??2，所以C??2，所以?ABC是直角三角
形；???????????? 6分 （2）由（1）得a?6,b?8，所以S?ABC????????????? 8分
在?APC中，AC?b?8,AP?10cos60??5，
341343?3，??????? 10分 ????25251012?6?8?24，
sin?CAP?sin(60??BAC)??所以S?APC?143?3?AC?AP?sin?CAP?20??83?6 210所以S?ABCP?83?18。
34．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知（1）求
sinCsinAcosA-2cosCcosB=2c-ab.
的值；
14（2）若cosB=
?ABC的周长为5，求b的长. ，△
c?2RsinC,解析 (1)由正弦定理得a?2RsinA,b?2RsinB,cosA-2cos2sinCC?2sincA-a==,
cosBbsinB所以
本卷第24页（共25页）
www.tesoon.com 天星教育网，因你而精彩！版权所有，侵权必究！
即sinBcosA?2sinBcosC?2sinCcosB?sinAcosB,即有sin(A?B)?2sin(B?C),即sinC?2sinA,所以
sinCsinAsinCsinAca=2
(2)由(1)知定理得：
=2,所以有?2,即c=2a,又因为?ABC的周长为5,所以b=5-3a,由余弦
222b?c?a?2accosB，即(5?3a)?(2a)?a?4a?22221，解得a=1，所以b=2.
本卷第25页（共25页）
4