观众选择这两种出行方式的原因在于观看比赛的时间不同，所以可以认为每个观众选择这两种出行方式的机会相等。这样，只需将两种方式测算的各区人流量求算术平均值，就可以得到总的人流量分布（表十九）。
表十九 20个商区的人流量分布 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 商区 6.993.162.983.595.1413.515.143.592.983.16人流量 % % % % % % % % % % B1 B2 B3 B4 B5 B6 C1 C2 C3 C4 商区 3.812.875.882.873.8110.903.023.783.349.49人流量 % % % % % % % % % % 3.各商区内的MS设计方案 （1） 模型的建立
设置MS在地点、大小类型和总量方面要满足三个基本要求：满足奥运会期间的购物需求，分布基本均衡和商业赢利。
因为满足奥运会期间的购物需求是最基本的要求，所以我们把它作为约束条件。分布基本均衡也是基本要求，我们也把它作为约束条件。商业上的赢利最大作为目标。
满足奥运会期间的购物需求，即任意第i个商区的所有MS能提供的商品大于这个商区的总需求量ui。不妨设单位面积的MS提供的消费额为V，则
(nic1?Nic2)V?ui 其中ni为第i个商区小型MS的数目，Ni为第i个商区大型MS的数目，c1小型MS的面积，c2大型MS的面积。
分布基本均衡，即每个商区中MS的总数目和总面积相差不大，我们分别定义均衡指标
q1?Smax?SminSmaxNmax?NminNmax (1)
和
q2? (2)
其中Smax为各商区MS面积最大值，Smin为各商区MS面积最小值，N为各商区MS数
目最大值，Nmin为各商区MS数目最小值。
我们认为只要MS面积最大值（或数目最大值）不超过面积最小值（数目最小值）的二倍，即q1,q2<0.5,那么分布就基本均衡。所以分布基本均衡的约束为
q1?0.5;q2?0.5
商业上的赢利即
利润-成本>0
利润为销售额乘以利润率，成本为修建MS的成本。
首先要确定商区内的销售额与MS的面积的关系。有关调查显示(见文献[1])，超市销售额和营业面积呈正相关关系，即随着MS面积的增长，总销售额也增长，但单位面积上的销售额却急剧下降，不妨用指数形式来描述单位面积的销售额的急剧下降与MS面积增长的关系：
dyidSi
9
?vie?kSi （3）
其中yi为第i个商区的销售额，Si为第i个商区的营业面积，vi为参数，k为单位面积销售额的衰减因子。
同时，第i个商区内的最大购物需求为ui，并且MS面积为0时销售额也应为0，所以有
Si??limyi?ui
（4） （5） （6）
yi|Si?0?0
i
联立（1）（2）（3）解得第i个商区的销售额为：
?kSyi?ui(1?e) 商区的MS的面积为：
Si?nic1?Nic2
第i个商区的营业面积，由ni个小MS的面积和Ni个大MS的面积组成，所以第i个
设w1和w2分别是大小MS单位面积平均每天的的建造成本，那么平均每天第i个商
区建造的所有MS的总成本为：
w1nic1?w2Nic2
设经营商品的利润率为r，那么第i个商区获得的商品利润为yir。 这样，根据
赢利=利润-成本
可知，第i个商区的赢利为
yir?w1nic1?w2Nic2
以赢利最大为目标，以商区内的营业面积不超过商区的总面积，每个商区内的销售额满足购物需求，超市分布均衡为约束条件，建立下模型：
max yir?w1nic1?w2Nic2 s.t. nic1?Nic2?S
(nic1?Nic2)V?ui
(q1,q2见（3）和（4）式 )
q1?0.5,q2?0.5
i1i2
ni,Ni为整数
i?1,2,?20
其中，yi?ui(1?e?k(nc?Nc))，r为单位面积销售商品的平均利润率,w1和w2分别为大小MS单位面积平均每天的的建造成本，S是一个商区的面积，V是单位面积的MS提供的消费额。
（2） 参数的确定 衰减系数k的确定：
有关调查显示（见文献[1]），1994～1996年，北京56家大型百货公司总的营业面积增长1.23倍，而销售额仅增长52%。将数据代入（4）可得
?2.23kS?kS1.52e?e?0.52 (5)
用mathematic软件求得方程（5）的非零解为kS=0.73。
所以，k确定为0.0073。
利润率r的确定：
目前大多数日用品的利润率是30%～40%，考虑到奥运会期间商品价格有所上涨，利润率也会比平时高，因此r确定为0.5。
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大、小MS单位面积造价w1、w2和面积大小S1、S2的确定：
有资料表明（见文献[2]），环保可移动小型超市的占地面积在16～25m2,售价3200元/m2，而且占地面积越大，售价越低。
这样，小型MS的占地面积可确定为25m2,成本3200元/m2；大型MS占地面积确定为50m2，售价3100元/m2。
考虑到奥运会只举行15天，因此MS的成本应平均分摊到每天，所以
w1?320015元（/m?天），w2?2310015元（/m?天） ，S1?25m22，S2?50m2
商区营业面积S的确定：
国家体育场（鸟巢）的建筑面积是2.8万平方米（见文献[3]），不妨假设周围各商区的总面积也为2.8万平方米。在国家体育场周围有二十个商区，那么每个商区的面积为1400平方米。从日常的生活常识得知，道路和绿化至少要占到商区面积的一半以上，那么商区的营业面积最多只有700平方米。
所以，我们确定S为700m2。
单位面积MS提供的销售额V的确定：
通过查阅有关资料（见文献[4]），2004雅典奥运会纪念品的零售额是7.28亿欧元，雅典市内共有上百个奥运会纪念品特许经营店，面积最大的达700平方米。我们可取平均每个商店的大小为350平方米。考虑到奥运会一共进行15天，以及1欧元约合人民币10元，最终得出单位面积的天销售额V =
27.28?10?10100?350?1582/m?天）。为了计=13867元（ /m?天）算方便可取V = 14000元（
（3） 模型求解
首先要计算每个商区的最大购物需求ui。根据表十四、十五、十六中每个区中不同人群（即餐饮方式不同的三种人）的数量，计算每种人的平均消费额，最后得到在情况1下每个区的最大购物量ui?；同理得到在情况2下每个区的最大购物量ui??。在情况1和情况2发生几率相同的情况下，将ui?和ui??作算术平均得到每个商区的最大购物量ui（见表二十）。求解的Matlab程序见附件六。
表二十 每个商区最大的购物量（单位：十万元） A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 5.42 B6 4.36 2.06 C1 1.20 1.43 C2 1.52 商区 A1 最大购物2.72 1.24 1.18 1.43 2.06 量 商区 B1 B2 B3 B4 B5 最大购物1.52 1.13 2.32 1.13 1.52 量 一个商区的面积是有限的，商区内的大、小
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A9 1.18 C3 1.32 A10 1.24 C4 3.75 MS个数只能在一个有限的区间内离散
地取值。即
0?ni?S/c1，0?Ni?S/c2
代入参数的值可以算出，ni?[0,24]，Ni?[0,12]，且ni,Ni?N。所以我们可以用穷举法搜索出每个商区内大、小MS的个数。计算机源程序见附件五。
计算出的结果见表二十一。
表二十一 各商区不同类型的MS个数 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 小型2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 MS数量 大型9 7 7 8 9 11 9 8 7 7 MS数量 B1 B2 B3 B4 B5 B6 C1 C2 C3 C4 小型1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 MS数量 大型8 7 9 7 8 11 7 8 8 10 MS数量
4.方法性的科学性与结果的和理性分析
我们对所给的问卷调查数据经行了统计分析，分别分析了不同年龄段在出行、用餐和购物等方面所反映的规律，同时也分男女性别对上述三方面的规律作了分析。既有总的分析，也有各种人群的分析。
在计算人流量时，我们把经过了商区，但没有购物欲望的人，不计入人流量的计算。在几个商区都有购物欲望的人，把他的人流量平均分在几个商区。在无法判断哪条路经最短时，我们考虑人在选择走那几条路的概率是相同的。这样，既处理方便，也和实际符合。
在设计各商区的MS的网点时，我们把题目中的三个基本要求转化为，以最大赢利为目标，满足奥运会期间最大购物需求和分布均衡为约束条件，得到单目标的规划模型。我们在建立销售额与营业面积的函数关系时，根据所查资料，得到它们的微分方程。随后建立了，即科学又符合实际。最后，从我们得到的结果来看，是符合实际的。
六． 结果分析
从结果来看，MS主要是大型的，这主要原因是由于大型MS的单位面积的价格比小型的要便宜。下面分析赢利函数：
y?rf(S)?w1S1?w2S2
其中，y为赢利，r为利润率，f(S)是销售额关于营业面积S的函数， S1为小型MS的总面积，S2为大型MS的总面积，w1为小型MS单位面积的价格，w2为大型MS单位面积的价格。w1?w2。
销售额增大，赢利增大，而销售额只与营业面积（大型MS的面积和小型MS的面积）有关，赢利还与MS的成本有关。这样，同样的营业面积，要想赢利最大，只有减小成
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本，而大型MS的单位价格比小型的MS的单位价格要低，所以导致大型MS的数量要远远大于小型MS的数量。
通过改变w1、w2的大小关系，各商区内大小MS的数量发生巨大变化。表二十四是w1和w2相等时的大小MS的数量，和表二十三比较可看出，小型MS的数量比大型MS的数量多。
表二十四 各商区不同类型的MS个数 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 小型MS10 12 12 11 11 10 11 11 12 12 数量 大型MS5 2 2 3 4 7 4 3 2 2 数量 B1 B2 B3 B4 B5 B6 C1 C2 C3 C4 小型MS11 12 12 12 11 10 12 11 8 12 数量 大型MS3 2 3 2 3 6 2 3 4 5 数量
七． 模型评价与推广
1. 本模型的一些假设是根据日常实际作出的，是比较合理的。这些假设不但简化了问题，便于模型的建立，而且又不失模型的科学性和结果的实际性。
2. 在对调查问卷数据的统计分析时，不但从整体，性别和年龄上统计寻找观众在出行和用餐方式，以及在消费方面的规律，而且还统计寻找观众不同出行和用餐方式和不同年龄的观众在消费方面所反映的规律。由此寻找到的规律比较全面。
3. 在目标函数的建立时，根据销售额和营业面积呈正相关关系，用指数函数描述营业额随面积的变化率，最终通过求解常微分方程确立了每个营业区营业额随营业面积变化的函数，这样使建立起来的目标函数即合理又非常简单。
4. 模型不但可以用于体育馆附近MS的设计，而且如果对模型各参数做适当修改还可以用于解决城市商业区的设计问题，具有一定的推广意义。
5. 模型的建立和参数的确定都是建立在现有资料数据基础上的，应用于4年后的2008年北京奥运会有一定的误差。
6. 模型还可做进一步改进，可考虑把经过每个区的人流中不同消费档次的人的比例算出来。根据这个比例确定每个区所销售的不同类型物品的比例，这样可以进一步增大营业额，使模型更能准确反映实际。
八． 参考文献
[1] http://www.qponline.net/Company/2003-9-6/200396103030.htm，2004.9.18 [2] http://www.aoyangkeji.com.cn/qtf/cpbj.htm，2004.9.18
[3] http://www.hebei.com.cn/node2/node7310/node1150/userobject1ai18143.htm，
2004.9.18
[4] http://2004.sina.com.cn/athens/other/2004-08-13/60822.html，2004.9.19
九． 附件清单
附件一 建模结构图
附件二 已建好的某运动场示意图
附件三 第一种情况下各商区到各用餐地点的路线
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