1988年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
?求幂级数?(x?3)n(1)的收敛域n?1n3n. (2)设f(x)?ex2,f[?(x)]?1?x且?(x)?0,求?(x)及其定义域.
(3)设?为曲面x2?y2?z2?1的外侧,计算曲面积分
I???x3dydz?y3dzdx?z3dxdy.
?
二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)
(1)若f(t)?limt(1?1x??x)2tx,则f?(t)= _____________.
(2)设f(x)连续且
?x3?10f(t)dt?x,则f(7)=_____________.
(3)设周期为2的周期函数,它在区间(?1,1]上定义为f(x)? 2?1?x?0x2
0?x?1,则的傅里叶(Fourier)级数在x?1处收敛于
_____________.
(4)设4阶矩阵A?[α,γ2γ,3γ,4B]?,βγ[γ2,γ3,4其,中]α,β,γ2,γ3,γ4均为4维列向量,且已知行列式A?4,B?1,则行列式
A?B= _____________.
三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设f(x)可导且f?(x10)?2,则?x?0时,f(x)在x0处的微分dy是
(A)与?x等价的无穷小 (B)与?x同阶的无穷小 (C)比?x低阶的无穷小
(D)比?x高阶的无穷小
(2)设y?f(x)是方程y???2y??4y?0的一个解且
f(x0)?0,f?(x0)?0,则函数f(x)在点x0处
(A)取得极大值 (B)取得极小值 (C)某邻域内单调增加
(D)某邻域内单调减少
,
(3)设空间区域
?2222:x2?y2?z2?R21:x?y?z?R,z?0,?2,x?0,y?0,z?0,则
(A)???xdv?4???dv
?1?2
(B)???ydv?4???ydv
?1?2(C)???zdv?4???zdv
?1?2
(D)
???xyzdv?4????xyzdv
1?2?(4)设幂级数
?ann(x?1)在x??1处收敛,则此级数在x?2处 n?1(A)条件收敛
(B)绝对收敛
(C)发散
(D)收敛性不能确定
(5)n维向量组α1,α2,,αs(3?s?n)线性无关的充要条件是
(A)存在一组不全为零的数k1,k2,,ks,使
k1α1?k2α2??ksαs?0
(B)α1,α2,,αs中任意两个向量均线性无关
(C)α1,α2,,αs中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D)α1,α2,,αs中存在一个向量都不能用其余向量线性表示
四、(本题满分6分)
设u?yf(x)?xg(yyx),其中函数f、g具有二阶连续导数,求
x?2u?2u?x2?y?x?y.
五、(本题满分8分)
设函数y?y(x)满足微分方程y???3y??2y?2ex,其图形在点
(0,1)处的切线与曲线y?x2?x?1在该点处的切线重合,求函数y?y(x).
六、（本题满分9分）
设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为
kr2(k?0为常数,r为A质点与M之间的距离),质点M沿直线y?2x?x2自
B(2,0)运动到O(0,0),求在此运动过程中质点A对质点M的引力
所作的功.
七、（本题满分6分）
?100??1?
已知AP?B,P其中B???000??0?0?1?P,??0??2?1?0求?0???21?1?A,A5.
八、（本题满分8分）
?200??已知矩阵A???001??200???1x?与B?0y0相似.
??0?1??0???0??(1)求x与y.
(2)求一个满足P?1AP?B的可逆阵P.
九、（本题满分9分）
设函数f(x)在区间[a,b]上连续,且在(a,b)内有f?(x)?0,证明:
在(a,b)内存在唯一的?,使曲线y?f(x)与两直线y?f(?),x?a所围平面图形面积S1是曲线y?f(x)与两直线y?f(?),x?b所围平面图形面积S2的3倍.
十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)设在三次独立试验中,事件A出现的概率相等,若已知A至少出现一次的概率等于1927,则事件A在一次试验中出现的概率是____________.
(2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于
65”的概率为____________.
(3)设随机变量X服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知
?(x)??x122?e?u2??du,?(2.5)?0.9938, 则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为____________.
,十一、（本题满分6分）
设随机变量X的概率密度函数为fX(x)?量Y?1?3X的概率密度函数fY(y).
1,求随机变
?(1?x2)1989年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)已知f?(3)?2,则limf(3?h)?f(3)h?02h= _____________.
(2)设f(x)是连续函数,且f(x)?x?2?10f(t)dt,则
f(x)=_____________.
(3)设平面曲线L为下半圆周y??1?x2,则曲线积分
?2L(x?y2)ds=_____________.
(4)向量场divu在点P(1,1,0)处的散度divu=_____________.
?0?0?10?(5)设矩阵A??3?14???I0??,?0?则1?矩0阵,?00??3??0??01(A?I2?1=_____________. )
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)当x?0时,曲线y?xsin1x (A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线
(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线 (D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线
(2)已知曲面z?4?x2?y2上点P处的切平面平行于平面2x?2y?z?1?0,则点的坐标是 (A)(1,?1,2) (B)(?1,1,2) (C)(1,1,2)
(D)(?1,?1,2)
(3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,
则该非齐次方程的通解是
(A)c1y1?c2y2?y3
(B)c1y1?c2y2?(c1?c2)y3
(C)c1y1?c2y2?(1?c1?c2)y3
(D)c1y1?c2y2?(1?c1?c2)y3