六、(本题满分8分)
设函数Q(x,y)在平面xOy上具有一阶连续偏导数,曲线积分
?L2xydx?Q(x,y)dy与路径无关,并且对任意t恒有
?(t,21xydx)dy)??t(0,0)?Qx(y,xydx(12,?)0,0Q)xydy(求,Q)(x,y,).
( 七、（本题满分8分）
假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且
g??(x)?0,f(a?)f?(b)g?(a)g?(b试证):
(1)在开区间(a,b)内g(x)?0.
(2)在开区间(a,b)内至少存在一点?,使f(?)g(?)?f??(?)g??(?). 八、（本题满分7分）
设三阶实对称矩阵A的特征值为?1??1,?2??3?1,对应于?1?的特征向量为ξ?0??1??1,求A??.
?1?? 九、（本题满分6分）
设A为n阶矩阵,满足AA??I(I是n阶单位矩阵,A?是A的转
置矩阵),A?0,求A?I.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)设X表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,
则X2的数学期望E(X2)=____________.
(2)设X和Y为两个随机变量,且
P{X?0,Y?0}?37,P{X?0}?P{Y?0}?47,
则P{max(X,Y)?0}?____________.
十一、（本题满分6分） 设随机变量X的概率密度为
fx)? e?xx?X(0 0x?0, 求随机变量Y?eX的概率密度fY(y).
1996年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)设lim(x?2ax??x?a)x?8,则a=_____________.
(2)设一平面经过原点及点(6,?3,2),且与平面4x?y?2z?8垂直,则此平面方程为_____________.
(3)微分方程y???2y??2y?ex的通解为_____________. (4)函数u?ln(x?y2?z2)在点A(1,0,1)处沿点A指向点
B(3,?2,2方向的方向导数为)_____________. ?102?(5)设A是4?3矩阵,且A的秩r(A)?2,而B???020?,则
??103????r(AB)=_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)已知
(x?ay)dx?ydy(x?y)2为某函数的全微分,a则等于 (A)-1 (B) 0 (C) 1
(D) 2
(2)设f(x)具有二阶连续导数,且f?(0)?0,limf??(x)x?0x?1,则 (A)f(0)是f(x)的极大值 (B)f(0)是f(x)的极小值
(C)(0,f(0))是曲线y?f(x)的拐点
(D)f(0)不是f(x)的极值,(0,f(0))也不是曲线y?f(x)的拐点
?(3)设an?0(n?1,2,),且?an收敛,常数??(0,?),则级数
n?12??(?1)n(ntan?)a2n n?1n(A)绝对收敛
(B)条件收敛
(C)发散
(D)散敛性与?有关 (4)
设
有
f(x)连
续
的
导
数
,f(0)?0,f?(0)?0,F(x)??x0(x2?t2)f(t)dt,且当x?0时
,F?(x)与xk是同阶无穷小,则k等于
(A) 1
(B) 2 (C) 3
(D)4
a100b1(5)四阶行列式
0a2b200a3b30的值等于 b400a4(A)a1a2a3a4?b1b2b3b4
(B)a1a2a3a4?b1b2b3b4
(C)(a1a2?bb12)(a3a4?b3b4) (D)(a2a3?b2b3)(a1a4?bb14)
三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)求心形线r?a(1?cos?)的全长,其中a?0是常数.
(2)设x1?10,xn?1?6?xn(n?1,2,),试证数列{xn}极限存
在,并求此极限.
四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)
(1)计算曲面积分
??(2x?z)dydz?zdxdy,其中S为有向曲面
Sz?x2?y2(0?x?1),其法向量与z轴正向的夹角为锐角.
2
u?x?2y?z?2z?2(2)设变换 zv?x?ay可把方程6?x2??x?y??y2?0简化为
?2z?u?v?0,求常数a.
五、(本题满分7分) 求级数??1的和. n?1(n2?1)2n
六、(本题满分7分)
设对任意x?0,曲线y?f(x)上点(x,f(x))处的切线在y轴上
的截距等于1x?x0f(t)dt,求f(x)的一般表达式.
七、（本题满分8分）
设f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件
f(x)?a,??f(?x)其中ba,,b都是非负常数,c是(0,1)内任意一点.证明f?(c)?2a?b2. 八、（本题满分6分）
设A?I?ξξT,其中I是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξT
是ξ的转置.证明
(1)A2?A的充分条件是ξTξ?1.
(2)当ξTξ?1时,A是不可逆矩阵.
九、（本题满分8分） 已知
二次
型
f(1?x2,2?x,23x)?的秩为212, 5x?2(1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值. (2)指出方程f(x1,x2,x3)?1表示何种二次曲面.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A生产的概率是____________.
(2)设?,?是两个相互独立且均服从正态分布N(0,(12)2)的随机变量,则随机变量???的数学期望E(???)=____________.
十一、（本题满分6分）
设?,?是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知?的分布率为P(??i)?1,i?1,2,3. 3又设X?max(?,?),Y?min(?,?).
(1)写出二维随机变量的分布率: X Y 1 2 3 1 2 3 (2)求随机变量X的数学期望E(X).