1994年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1) lim1x?0cot?(sinx?1x)= _____________.
(2)曲面z?ex?2xy?3在点(1,2,处0的切平面方程为_____________.
(3)设u?e?xsinxy,则?2u?x?y在点(21?,处)的值为_____________.
(4)
设
区
域
D为
x2?y2?R2,则
x2???y2(22)dxdy=_____________. Dab(5)已知α?[1,2,3],β?[1,1,123],设A?α?β,其中α?是α的转置,则An=_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设
?M??2sinx??43??cosxdx,N?2(sinx?cos4x)dx,P?2(x2sin3x?cos421?x2???2???x)dx,2则有 (A)N?P?M (B)M?P?N (C)N?M?P
(D)P?M?N
(2)二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数fx?(x0,y0)、
fy?(x0,y0)存在是f(x,y)在该点连续的
(A)充分条件而非必要条件
(B)必要条件而非充分条件
(C)充分必要条件 (D)既非充分条件又非必要条件
(3)设常数????0,且级数2??an收敛,则级数(?1)nann?1?1n2??
n(A)发散 (B)条件收敛
(C)绝对收敛
(D)收敛性与?有关
(4)limatanx?b(1?cosx)x?0cln(1?2x)?d(1?e?x2)?2,其中a2?c2?0,则必有
(A)b?4d (B)b??4d (C)a?4c
(D)a??4c
(5)已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关,则向量组 (A)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关
(B)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关 (C)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关
(D)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
x?cost2() (1)设 dy?y?tcost(2?)?t2112ucuduos,求dx、d2ydx2在t?2的值.
(2)将函数f(x)?14ln1?x1?x?12arctanx?x展开成x的幂级数. (3)求
?dxsin(2x)?2sinx.
四、(本题满分6分)
计算曲面积分??xdydz?z2dxdy222,其中S是由曲面x2?y2?R2Sx?y?z及z?R,z??R(R?0)两平面所围成立体表面的外侧.
五、(本题满分9分)
设f(x)具有二阶连续函数,f(0)?0,f?(0)?1,且
[xy(x?y)?f(x)y]dx?[f?(x)?x2y]dy?0为一全微分方程,求
f(x)及此全微分方程的通解.
六、(本题满分8分)
设f(x)在点x?0的某一邻域内具有二阶连续导数,且
limf(x)?x?0x?0,证明级数?f(1)绝对收敛. n?1n
七、（本题满分6分）
已知点A与B的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕
x轴旋转一周所成的旋转曲面为S.求由S及两平面z?0,z?1所围
成的立体体积.
八、（本题满分8分）
设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为 x1?x2?0x2?x,
4?0又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为k1(0,1,1,0)?k2(?1,2,2,1). (1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析. (2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.
九、（本题满分6分）
设A为n阶非零方阵,A*是A的伴随矩阵,A?是A的转置矩阵,当A*?A?时,证明A?0.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中
横线上)
(1)已知A、B两个事件满足条件P(AB)?P(AB),且P(A)?p,则P(B)=____________.
(2)设相互独立的两个随机变量X,Y具有同一分布率,且X的分
布率为
X 0 1 P 1 122 则随机变量Z?max{X,Y}的分布率为____________.
十一、（本题满分6分）
设随机变量X和Y分别服从正态分布N(1,32)和N(0,42),且
X与Y的相关系数?1XYxy??2,设Z?3?2,
(1)求Z的数学期望EZ和DZ方差.
(2)求X与Z的相关系数?xz. (3)问X与Y是否相互独立?为什么?
1995年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
2(1) lim(1?3xsinxx?0)=_____________.
(2)
d0dx?x2xcost2dt= _____________.
(3)设(a?b)c?2,则[(a?b)?(b?c)](c?a)=_____________.
?(4)幂级数
?nx2n?1的收敛半径R=_____________. n?12n?(?3)n(5)设三阶方阵A,B满足关系式A?1BA?6A?BA,且
??100??3?A??1??0??40?,则B=_____________. ?01???07???
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设有直线L: x?3y?2z?1?02x?y?10z?3?0,及平面
?:4x?2y?z?2?0,则直线L
(A)平行于? (B)在?上 (C)垂直于?
(D)与?斜交
(2)设在[0,1上]f??(x)?0,则f?(0),f?(1),f(1)?f(0)或
f(0)?f(1)的大小顺序是
(A)f?(1)?f?(0)?f(1)?f(0)
(B)f?(1)?f(1)?f(0)?f?(0) (C)f(1)?f(0)?f?(1)?f?(0)
(D)f?(1)?f(0)?f(1)?f?(0)
(3)设f(x)可导,F(x)?f(x)(1?sinx),则f(0)?0是F(x)在
x?0处可导的
(A)充分必要条件 (B)充分条件但非必要条件
(C)必要条件但非充分条件 (D)既非充分条件又非必要条件
(4)设u?(?1)nln(1?1nn),则级数 ??(A)
?u2n与
n?1?un?1n都收敛 (B)
???un与
u2n?1?n?1n都发散
????(C)?u2n收敛,而
n?1?u2n?1n发散 (D)
?un收敛,而
n?1?un?1n发散
(5)
设
??a11a12a13??a13??010??10A??aa??a11a1221a2223?,B??a21a22a??23??a31a32a33????a31a32a?,P1??100??,P2???0133????001????10则必有
(A)AP1P2=B (B)AP2P1=B (C)P1P2A=B
(D)P2P1A=B
三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)
(1)设u?f(x,y,z),?(x2,ey,z)?0,y?sinx,其中f,?都具有
一阶连续偏导数,且???z?0.求dudx.
(2)设函数f(x)在区间[0,1]上连续,并设
?10f(x)dx?A,求
?110dx?xf(x)f(y)dy.
四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)
(1)计算曲面积分
???zdS,其中?为锥面z?x2?y2在柱体
x2?y2?2x内的部分.
0?
(2)将函数f(x)?x?1(0?x?2)展开成周期为4的余弦函数. 0?1?,??
五、(本题满分7分)
设曲线L位于平面xOy的第一象限内,L上任一点M处的切线
与y轴总相交,交点记为A.已知MA?OA,且L过点(3,322),求L的方程.