1997年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
3sinx?x2cos1(1)limxx?0(1?cosx)ln(1?x)=_____________.
?(2)设幂级数
?an??nan?1nx的收敛半径为3,则幂级数
n(x?1)n?1n?1的收敛区间为_____________.
?(3)对数螺线??e?在点(?,?)?(e2,?2)处切线的直角坐标方程
为_____________.
?12?(4)设A??2??4t3??,B为三阶非零矩阵,且AB?O,则??3?11??t=_____________.
(5)袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依
次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
xy(1)二元函数f(x,y)? x2?y2 (x,y)?(0,0),在点(0,0)处
0 (x,y)?(0,0)(A)连续,偏导数存在 (B)连续,偏导数不存在 (C)不连续,偏导数存在
(D)连续,偏导数不存在
(2)设在区间[a,b]上f(x)?0,f?(x)?0,f??(x)?0.令
S?baf(x)dx,S11?2?f(b)(b?a),S3?2[f(a)?f(b)](b?a),
则
(A)S1?S2?S3
(B)S2?S1?S3 (C)S3?S1?S2
(D)S2?S3?S1
(3)设F(x)??x?2?sintxesintdt,则F(x)
(A)为正常数 (B)为负常数 (C)恒为零
(D)不为常数
?a1??b1??c1?(4)设α??????1??a2,α2?b2,α3?c2,??????则三条直线
?a3????b3????c3??a1x?b1y?c1?0,a2x?b2y?c2?0, a3x?b3y?c3?0(其中a22i?bi?0,i?1,2,3)交于一点的充要条件是 (A)α1,α2,α3线性相关
(B)α1,α2,α3线性无关
(C)秩r(α1,α2,α3)?秩r(α1,α2)
(D)α1,α2,α3线性相关,α1,α2线性无关
(5)设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2,则随机变量3X?2Y的方差是
(A)8 (B)16 (C)28 (D)44
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
(1)计算I????(x2?y2)dv,其中?为平面曲线
y2?2z绕?x?0z
轴旋转一周所成的曲面与平面z?8所围成的区域.
(2)计算曲线积分
?(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz,其中c是
c曲线 x2?y2?1x?y?z?2从z轴正向往z轴负向看c的方向是顺时针的.
(3)在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的,设该人群的总人数为N,在t?0时刻已掌握新技术的人数为x0,在任意时刻t已掌握新技术的人数为x(t)(将x(t)视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数
k?0,求x(t).
四、(本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题7分,满分13分)
(1)设直线l: x?y?b?0x?ay?z?3?0在平面?上,而平面?与曲面
z?x2?y2相切于点(1,?2,5),求a,b之值.
(2)设函数f(u)具有二阶连续导数,而z?f(exsiny)满足方程
?2z?x2??2z?y2?e2xz,求f(u).
五、(本题满分6分) 设f(x)连续,?(x)??1)0f(xt)dt,且limf(xx?0x?A(A为常数),求??(x)并讨论??(x)在x?0处的连续性.
六、(本题满分8分)
设a1?0,an?1?12(a1n?a)(n?1,2,),证明 n?
(1)limanx??an存在.
(2)级数
?(a?1)收敛. n?1n?1
七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分)
(1)设B是秩为2的5?4矩阵
,α1?[1,1,2,3]T,α2?[?1,1,4,?1]T,α3?[5,?1,?8,9]T是齐次线性方
程组Bx?0的解向量,求Bx?0的解空间的一个标准正交基.
?1??2?12
(2)已知ξ???1?是矩阵??a3???1?A???5?的一个特征向量. ?????1b?2?? 1)试确定a,b参数及特征向量ξ所对应的特征值.
2)问A能否相似于对角阵?说明理由.
八、（本题满分5分）
设A是n阶可逆方阵,将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵
记为B.
(1)证明B可逆.
(2)求AB?1.
九、（本题满分7分）
从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设再各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是25.设X为途中遇到红灯的次数,求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望.
十、（本题满分5分） 设总体X的概率密度为
(??1x)?0?x?1 f(x)? 其它0其中???1是未知参数,X1,X2,,Xn是来自总体X的一个容量为
n的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求?的估计量.
1998年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)lim1?x?1?x?2x?0x2=_____________.
(2)设z?1xf(xy)?y?(x?y),f,?具有二阶连续导数,则?2z?x?y=_____________. (3)设l为椭圆x24?y23?1,其周长记为a,则?(2xy?3x2?4y2)ds=_____________. L(4)设A为n阶矩阵,A?0,A*为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵.若A有特征值?,则(A*)2?E必有特征值_____________.
(5)设平面区域D由曲线y?
1
x
及直线y?0,x?1,x?e2所围成,二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布,则(X,Y)关于X的边缘概率密度在x?2处的值为_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设f(x)连续,则dxdx?0tf(x2?t2)dt= (A)xf(x2)
(B)?xf(x2)
(C)2xf(x2)
(D)?2xf(x2)
(2)函数f(x)?(x2?x?2)x3?x不可导点的个数是
(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0
(3)已知函数y?y(x)在任意点x处的增量?y?y?x1?x2??,且当?x?0时,?是?x的高阶无穷小,y(0)??,则y(1)等于
(A)2? (B)?
??(C)e4
(D)?e4