昆 明 学 院
2015 届毕业设计（论文）
设计（论文）题目
一维热传导问题的数值解法及其MATLAB模拟 子课题题目 无
姓 名 伍有超 学 号 201117030225 所 属 系 物理科学与技术系 专业年级 2011级物理学2班 指导教师 王荣丽
2015 年 5 月
一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟
摘要
本文介绍了利用分离变量法和有限差分法来求解一维传导问题的基本解，并对其物理意义进行了讨论。从基本解可以看出，在温度平衡过程中，杠上各点均受初始状态的影响，而且基本解也满足归一化条件，表示在热传导过程中杆的总热量保持不变。通过对一维杆热传导的分析，利用分离变量法和有限差分法对一维热传导进行求解，并用 MATLAB 数学软件来对两种方法下的热传导过程进行模拟，通过对模拟所得三维图像进行取值分析，得出由分离变量法和有限差分法绘制的三维图基本相同，且均符合热传导过程中温度随时间、空间的变化规律，所以两种方法均可用来解决一维热传导过程中的温度变化问题。
关键词：一维热传导；分离变量法；有限差分法；数值计算；MATLAB 模拟
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一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟
Abstract
In this paper, the method of variable separation and finite difference method are introduced to solve the problem of one-dimensional heat conduction problems, and the physical significance of numerical methods for heat conduction problems are discussed. From the basic solution, we can see the temperature on the bar are affected by the initial state during the process of temperature balance, and basic solution also satisfy the normalization condition which implied the invariance of the total heat in the bar during the heat conduction process. Through the analysis of the one-dimensional heat conduction, by taking use of variable separation method and finite difference method, we simulated the one-dimensional heat conduction problem by MATLAB. The three-dimensional images of the simulation results obtained by the method of separation of variables and finite difference method are similar to each other, and the temperature curve is in accordance with the law of temperature variation during heat conduction. Thus, we can go to the conclusion that both methods can be used to deal with the one-dimensional heat conduction problems.
Keywords: One-dimensional heat conduction; method of variable separation;
finite difference method; numerical method; MATLAB simulation
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一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟
目 录
第一章 绪论 ................................................................................................................. 1 1.1热传导的概念.....................................................................................................1 1.2热质的运动和传递.............................................................................................1 第二章 一维热传导问题的两种数值解法 ................................................................. 3 2.1一维热传导问题的初值问题 ............................................................................ 3 2.2一维热传导问题的分离变量法 ........................................................................ 4 2.3一维热传导问题的有限差分法 ........................................................................ 6 第三章 一维有界杆热传导问题的MATLAB模拟 .................................................. 9 3.1一维有界杆热传导问题 .................................................................................... 9 3.2分离变量法的MATLAB模拟 ......................................................................... 9 3.3有限差分法的MATLAB模拟 ....................................................................... 12 第四章 总结与展望 ................................................................................................... 18 参考文献 ..................................................................................................................... 19 谢辞.............................................................................................................................. 20
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一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟
第一章 绪论
1.1热传导的概念
由于温度分布不均匀，热量从介质中温度高的地方流向温度低的地方称为热传导。热传导是热传递三种基本方法之一，它是固体中热传递的主要方式，在不流动的液体或气体层中传递，在流动的情况下往往伴随着对流同时发生。
固体、液体以及球体热传导热传导的实质是由大量的物质分子热运动相互撞击，而使能量从高温部传至低温部分，或由高温物体传给低温物体的过程。在固体中，热传导的微观过程是：在高温部分，晶体中结点上的微粒振动动能较大。在温度低的部分，微粒的振动动能比较小。因为微粒的振动互相联系，所以在晶体内部就发生着微粒的振动，动能由动能大的部分分向给动能小的部分。在固体中热的传导，就伴随着能量的迁移。在金属物质中因为存在大量的自由电子，在不停的做无规则运动。自由电子在热传导过程中起主要作用。在液体中传导表现为：液体分子在温度高的区域热运动比较强，由于液体分子之间存在着相互作用，热运动的能量将逐渐向周围层传递，引起了热传导现象。由于热传导系数小，传导较慢，它与固体相似，因而不同于气体；气体依靠分子的无规则热运动以及分子间的碰撞，在气体内部发生能量的迁移，从而形成宏观上的热量传递[1]。 1.2热质的运动和传递
物质具有的热能(粒子无规运动动能) 是物质能量形式之一，它又对应着物质所具有的热质量，并且可看作为是热子气的质量[2]。物体导热过程中的热量输运对应着热质量(热子气质量) 的输运。与对流输运不同，热质的输运是属于分子输运或扩散输运。它可以用热子气的宏观速度(漂移速度) 来描述。与此类似，为了能够描述和研究热子气的宏观运动，需要建立热子气运动的速度和加速度等物理量。为了能确定热子气运动状态的变化与施加在热子气之上的非平衡作用力之间的关系，我们需要建立热质运动定律[3]。在热质和热子气概念基础上，建立了热子气的质量、动量和能量守恒方程；基于傅立叶导热定律求得了热子气粘性力的近似式[4]；傅立叶导热定律本质上是忽略惯性力条件下的热子气的压力梯度与粘性力的平衡方程，当惯性力可以忽略时，热子气的动量守恒方程退化为傅立
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