一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟
从上图可以看出，当t?0时刻，温度T在长杆l各处呈线性分布，且由x?0到
x?l逐渐上升。
取分离变量法模拟的三维图（图3.1）t?10时刻，温度T在长杆l各处的分布规律，得到如下曲线图：
图3.5 t?10时刻T?l关系图
由上图可以看出，当t?10时刻，温度T在长杆l各处也呈线性分布，且由x?0到
x?l逐渐上升，以上曲线图均符合热传导规律。
3.3有限差分法的MATLAB模拟
根据2.3所得方程，向前差分：
uij?1?suij?1??1?2s?uij?suij?1 ， (36) ka2s?2 ， (37)
h向后差分：
11uij??suij??1?2s?uij?1?suij??1??1， (38)
利用MATLAB作图，得到有限差分图如下：
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一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟
图3.6 有限差分法模拟一维有界杆的热传L?T?t图
取有限差分法模拟三维图（图3.6）中x?l时T?t的数据，作如下曲线图： 2
图3.7 有限差分法得到的x?l时T?t关系图 2可以发现在长杆x?l处，温度T随时间的增长而下降。取有限差分法模拟2三维图（图3.6）x?l处，温度T随时间t的变化，作如下曲线图：
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一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟
图3.8 有限差分法得到的x?L处T?t关系图
可以发现，在长杆x?l处，温度T随时间t的增加而降低，取有限差分法模拟三维图（图3.6）t?0时刻，温度T在长杆l各处的分布规律，得到如下曲线图：
图3.9 有限差分法得到的t?0时刻T?l关系图
从上图可以看出，当t?0时刻，温度T在长杆l各处呈线性分布，且由x?0到
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一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟
x?l逐渐上升。
取有限差分法模拟的三维图（图3.6）t?10时刻，温度T在长杆l各处的分布规律，得到如下曲线图：
图3.10 有限差分法得到的t?10时刻T?l关系图
由上图可以看出，当t?10时刻，温度T在长杆l各处也呈线性分布，且由
x?0到x?l逐渐上升，以上曲线图均符合热传导规律。
综上所述，由分离变量法和有限差分法绘制的三维图基本相同，且均符合热传导过程中温度随时间、空间的变化规律，所以两种方法均可用来解决一维热传导过程中的温度变化问题。
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一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟
第四章 总结和展望
许多工程问题需要研究热量在物体内部的传导情况或某种物质在液体中的扩散情况，因此研究热传导问题特别是非稳态热传导问题十分重要。目前热传导方程已有多种求解格式。MATLAB 基于矩阵运算，具有强大的数值运算能力和图形可视化能力，是方便实用、功能强大的数学软件。本文以热传导方程的数值解法及Matlab模拟实现为主线，研究论证其可行性，从而发现一种较为简便且极为有效的热传导方程数值解法和可视化的方法，意在更好的解决目前在工程和研究邻域中实际存在的问题，进而推动其相关邻域的发展和进步，文章的主要研究设计工作：对热传导方程的数值解法做了理论研究，为Matlab编程的实现奠定了理论基础，结合Matlab知识，编出程序通过列举方程和边值条件，利用编写的程序解出了一维热传导的非稳态问题。
本文通过对一维杆热传导的分析，利用分离变量法和有限差分法对一维热传导进行求解，并用 MATLAB 数学软件来对两种方法下的热传导过程进行模拟，通过对模拟所得三维图像进行取值分析，得出由分离变量法和有限差分法绘制的三维图基本相同，且均符合热传导过程中温度随时间、空间的变化规律的结论，所以两种方法均可用来解决一维热传导过程中的温度变化问题。
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