一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟
有限差分法的缺点：它是必需进行整个区域的划分，并且要求网格比较规则，空间网格最好为直角网格。
（二）利用有限差分法进解决一维热传导问题：
问题背景
1、热传导的方程介绍[14]：
???u2?a2?u???t?x2?u?0,t??u?L,t??0， ????u?x,0??f(x)2、离散以后得到：
uj0?u?0,jk??0 ， ujn?u?L,t??0 ， u0i?u?ih,0??f(ih)?fi， （1）向前差分后得：
uj?1?ujj?2ujjii2ui?1i?uik?a?1h2，计算得出：
uj?1i?suji?1??1?2s?ujji?sui?1，s?ka2h2 。 下图是一个显示格式：
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(28) (29) (30) (31)
(32) (33) (34)
一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟
图2.1 向前有限差分法网格图
1由此可以证明当0?s?时，上述差分式是稳定的，所以x的步长h和t的步
2长k取法要恰当。
（2）向后差分格式得到：
j?1j?11uij?1?uij?uij??2ui?1?2ui1?a ， (35) kh2计算得出：
11uij??suij??1?2s?uij?1?suij??1??1 ， (32)
图2.2 向后有限差分法网格图
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一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟
第三章 一维有界杆热传导问题的MATLAB模拟
3.1一维有界杆热传导问题
一均匀细杆长为l，在x?0端温度为0度，且保持温度不变，x?l端与外界绝热。已知初始时刻温度分布为?(x)。试求细杆上温度的变化规律。
利用热传导方程：
?ut?a2uxx?0,0?x?l,t?0??， (33) ?ux?0?0,uxx?l?0,t?0???ut?0??(x),0?x?l为了便于做题，我们令：
a?1， l??，
?(x)?x，
对于此问题，我们可以采用分离变量法和有限差分法来进行求解，并利用MATLAB数学软件
[15]
对所得结果绘图并分析。
3.2分离变量法的MATLAB模拟
首先，利用分离变量法对问题进行求解，根据2.2所得方程，有:
u?x,t???Cnen?1?(2n?1)2?2a2t4l2sin(2n?1)?x， (34) 2l其中：
Cn?2l(2n?1)???(?)sind? 。 (35) ?0l2l利用MATLAB对以上方程进行模拟，得到关于一维有界杆的热传导图像如下所示：
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一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟
图3.1 分离变量法模拟一维有界杆的热传L?T?t图
可以看出，温度随时间呈下降趋势，长杆各部分温度随时间增加趋于稳定。
取分离变量法模拟三维图（图3.1）中x?l时T?t的数据，作如下曲线图： 2
图3.2 x
?l时T?t关系图 210
一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟
可以发现在长杆x?l处，温度T随时间的增长而下降。取分离变量法模拟2三维图（图3.1）x?l处，温度T随时间t的变化，作如下曲线图：
图3.3 x?L处T?t关系图
可以发现，在长杆x?l处，温度T随时间t的增加而降低，取分离变量法模拟三维图（图3.1）t?0时刻，温度T在长杆l各处的分布规律，得到如下曲线图：
图3.4 t?0时刻T?l关系图
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