一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟
叶导热定律。在极低温或极高热流密度时傅立叶导热定律不再适用[5]。
在最近的20多年里，对一维体系热传导性质的研究已经从纯理论研究的兴趣延伸到了对其应用性的探讨。自从2002年G. Casati 等人提出了利用非线性参数来控制一维体系中的热流量，例如制备热整流器(thermal rectifier)的设想和方案以来，通过组合不同性质的一维晶格体系来控制和操纵热流，制备出诸如热二
[6]极管（thermal diode）、热阻（thermal resistance）、热晶体管（thermal transistor）[7]
等微观热器件的研究，为人们展示了一维体系热传导研究中诱人的应用前景[8]。
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第二章 一维热传导问题的两种数值解法
2.1一维热传导问题的初值问题
问题简述:一均匀细杆直径为l，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，并服从规律:
dQ?k1(u?u1)dSdt 。 (1)
又假设杆的密度为?，比热为c，热传导系数为k，式导出此时温度u满足的方程。
(1)任取细杆中的一段(x1,x2)，从时刻t1到时刻t2热量的增量为：
Q1??cps?u?x,t2??u?x,t1??dxx1x2??其中s?t2t1?x2x1?u?x,t?cpsdxdt?t ， (2)
?4l2是杆的截面积，通过(x1,x2)的两端流入的热量为： Q2??ks?ux?x2,t??ux?x1,t??dtT1t2??t2t1?x2x1?2u?x,t?ksdxdt?x2 。 (3)
通过(x1,x2)的侧面与周围介质发生的热交换量为：
Q3??t2t1?x2x1k1(u?u1)?ldxdt ， (4)
由能量守恒定律 Q1?Q2?Q3，以及x1,x2,t1,t2的任意性得：
?u(x,t)?2u(x,t)c?s?ks?k1(u?u1)?l ， (5)
?t?x2记 a2?kk?l4k，b2?1?1，可得： c?c?sc?l2?u(x,t)2?u(x,t)2?a?b(u?u1)2?t?x。 (6)
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若考虑一维热传导方程的初值问题即是Cauchy 问题[9]：
?ut?a2uxx?f?x,t?,???x???,t?0， (7) ??t?o:u??(x),???x???求具有所需次数偏微商的函数u?x,t?，满足方 程（1）????x????和初始条件：
u?x,0???(x),???x???。 (8)
考虑齐次热传导方程的初值问题?
?ut?a2uxx?f?x,t?,???x???,t?0， (9) ??t?o:u??(x),???x???通过推导可以推导出：
u?x,t??f?1?u?x,t????1xe????2a???12a?tx?3a?etd? 。 (10)
?t??????x?24a2t???(?)ed?若考虑非齐次热传导方程的齐次初始条件[10]的初值问题：
?ut?a2uxx?f?x,t?,???x???,t?0??t?o:u?0,???x???， (11)
通过推导可以推导出解为：
u?x,t??12a???0t????f??,??e?t??????x?24a2?t???d?d?。 (12)
若考虑非齐次热传导方程的非齐次初始条件初值问题的：
u?x,t??12a?t??????x?24a2t??t?(?)e??d????x?24a2?t???1?2a???0??f??,??e?t???d?d? 。 (13)
以上就为齐次热传导方程的初值问题，非齐次热传导方程的齐次初始条件的初值问题和非齐次热传导方程的非齐次初始条件初值问题的解。
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2.2一维热传导问题的分离变量法
利用分离变量法的实验原理来解决有界长杆的热传导问题： （一）考虑齐次热传导方程的混合问题（边界条件）都是第一类情形
?ut?a2uxx,0?x?l,t?0?， (14) ?u?0,t??0,u?l,t??0?u?x,0???(x)?其中?(x)为给定的已知函数，求解过程为首先令u?x,t??X(x)T(t)将其带入方程
ut?a2uxx ， (15)
并且分离变量得两个常微分方程
T'(t)??a2T(t)?0X(x)??X(x)?0'' ， (16)
由边界条件u?0,t??0,u?l,t??0可得：X(0),X(l)?0(17)为有界长杆的热传导问题[11]的解。 （二）求边值问题
一维热传导问题的分离变量法求边值问题的原理，即是求
X''(x)??X(x)?0,X(0)?X(l)?0的非0解包括以下三种情况：
（1）当??0时，该问题没有非平凡解； （2）当??0时，该问题也没有非平凡解； （3）当??0时，该问题有非平凡解； 此时
n?2),(n?1,2,3.....) ， (17) ln?xXn(x)?Bnsin,(n?1,2,3.....)。 (18)
l???n?(若现在考虑：
T'(t)??a2T(t)?0， (19)
将特征值???n?(n?2),(n?1,2,3.....)代入方程得： l5
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T'(t)?(n?a2)T(t)?0 ， (20) lna?2)tl求得通解为
T(t)?Cne?(,(n?1,2,3...) ， (21)
于是可以求解出定解问题中的一维热传导方程组且满足齐次边界条件的具有变量分离形式特解[12]：
u?x,t???anen?1??(na?2)tlsinn?x ， (22) l其中an?BnCn，是任意常数，在利用初值条件u?x,0???(x)，可得：
?ansinn?1?n?x??(x) ， (23) l继而推导出：
an?所以
21n?x?(x)sindx ， (24) ?0llna???()2t?n?xl??ux,t?anesin???ln?1， (25) ??an?21?(x)sinn?xdx?l?0l?就为所求定解问题 (14)的特解。若问题中的边界条件出现第二类或者第三类齐次边界条件，解法类似。
2.3一维热传导问题的有限差分法 （一）有限差分法的介绍：
有限差分法是计算机数值模拟最早采用的方法，至今乃被推广使用[13]。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立网格节点上的值为未知数的代数方程组。
有限差分法的优点：它是一种直接将微分问题变为代数问题的近似解法，数学观念直观，表达简单，是发展最早而且比较成熟的数值方法。
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