Y E A U0 R C U1
○ X 图3-6 任两条无差异曲线不可相交
4）任何一点必有一条无差异曲线通过。商品空间上任何一点必有一条无差异曲线通过，表示消费者可以比较任意两组组合形式的商品，确定它们是无差别的，还是一种优于另一种。
5）无差异曲线的形状凸向原点(convex to the origin)。无差异曲线的形状凸向原点表示任意两组商品的加权平均至少比其中一组好。无差异曲线的形状凸向原点可以表示如下：
[tx1?(1?t)x2,ty1?(1?t)y2]?（x1,y1）或[tx1?(1?t)x2,ty1?(1?t)y2]?(x2,y2)Y 0?t?1 （3-11）
A(x1,y1) B(x2,y2)○ 图3-7 凸性无差异曲线
X
在图3-7中，A（X1，Y1）、B（X2，Y2）两点间连线上的效用水平表示为A（X1，Y1）、B
（X2，Y2）两点效用水平的加权平均，它显然高于两个端点A（X1，Y1）点或B（X2，Y2）点的效用水平。另外，而关于无差异曲线凸向原点此乃边际替代率呈递减的原因，用此解释
如上。
三、边际替代率及其递减规律
边际替代率(Marginal Rate of Substitution)是指消费者在维持自己的效用水平不变的情况下,为多得到一单位的某种物品而愿意放弃的另一种商品的数量。即
MRSXY =-
?Y （3-12） ?X边际替代率的几何意义是：无差异曲线上任意一点的边际替代率都是该点切线斜率的负值。如图3-8所示，因为是在保持消费者满足不变的情况下，所以
-?YMUY=?X?MUX （3-13）
-
?YMUX= = MRSXY （3-14） ?XMUY边际替代率实际上是边际效用的比值。
Y
斜率：dY/dX=-MUX/MUY dY dX ○ 图3-8 边际替代率
X
对于效用函数D＝U(X，Y)来说，其效用的大小，随X、Y的各种不同组合而定，因而
它是X、Y数量的函数。因此无差异曲线效用方程式可表示为：
0
U(X，Y)=U（常数） （3-15）
就上式两边加以微分得：
?U?U?dX??dY?dU0 （3-16） ?X?YMUx?dX?MUy?dY?0 （3-17）
上式中前项dX＜0，表示减少消费X商品的数量，而每减少一单位X的消费，必会降低MUX的效用，故MUX·dX表示因减少消费X商品所降低的效用；而后项dY＞0，表示增加消费Y商品的数量，同理，MUY·dY表示增加消费Y商品所导致增加的效用，欲维持同一满足水平，必须使两者增减之和等于零，即MUX·dX十MUY·dY＝0，如上图所示，因此，无差异曲线的斜率等于边际替代率，公式表示为：
MRSxy?MUx （3-18） MUy在一般情况下，通常假定无差异曲线凸向原点，其斜率(一阶导数)为负，即边际替代率为负。那么，对于无差异曲线的二阶导数，即边际替代率的变化率为正还是为负?
dMRSXYd?dYd2Y?()?? （3-19） 2dXdXdXdX由于
dY?0，当dX?0(即X的消费增加)时，显然有： dXd2Y?0 （3-20） 2dX上式便是边际替代率递减法则的数学表达式。其含义是：在同一效用水平上，随着X(或Y)消费量的增加，所要放弃的Y(或X)的消费量逐步减少。
因此，边际替代率递减规律：在维持效用水平不变的前提下，随着一种商品消费数量的连续增加，消费者为得到每一单位的这种商品所需要放弃的另一种商品的消费数量是递减的。
四、不同形状的无差异曲线
一般情况下，无异曲线均凸向原点。但是在某些情况下，由于商品之间的替代性的特殊性，无异曲线也呈现出特殊情况。
序数效用理论抛弃了效用单位的说法，提出了偏好、无差异曲线、边际替代率递减等概念和假设，试图在维护基数效用理论的基础上弥补其缺陷。但是毕竟都是思辨的结果，既缺乏现实基础、又无法得到经验的验证。实际中，大多数商品之间是不能相互替代的。
左镜片
5元钞票 O (a)
右镜片 O (b)
10元钞票
图3-9 完全互补品与完全能替代品的无差异曲线图
1）完全互补品。如果两种商品的性能互为补充，只有结合在一起才能共同满足一种需要，即两种商品是互补品，则相应的无差异曲线呈直角形状，与横坐标平行的无差异曲线部分的商品边际替代率MRSXY等于零，与纵坐标平行的无差异曲线部分的商品边际替代率MRSXY等于无穷大。如一副眼镜架必须和两块眼镜片配合，才能满足需要，如图3-9(a)所示。 2）完全替代品。如果两种商品完全替代，则相应的无差异曲线为一条斜率不变的直线，商品边际替代率MRSXY等于一个常数。例如一张10元的钞票总是完全替代两张5元的钞票，无差异曲线如图3-9(b)所示。
五、预算线
1、预算线
前面我们分析了消费者在购买或消费商品时的主观意愿问题，即效用或偏好。效用和偏好纯属消费者的个人意愿，但再强烈的意愿也不等于现实。消费者要使自己的购买愿望转化为现实，必然会受到自己收入水平的约束和市场上商品价格的约束。下面我们将讨论消费者的预算约束问题。
预算线(budget 1ine)是指在消费者的货币收入和商品价格既定的条件下，消费者所能购买到的两种商品的不同组合点的轨迹。消费者一方面追求需求满足最大化，一方面又受到货币收入的限制。假定某消费者将其全部货币收入I用于购买X与Y两种物品，其中X物品的价格是PX，Y物品的价格是PY，则消费者的预算线可表示为：
I= PXX+PYY （3-21）
如图3-10，在商品空间中，全部收入所能购买的两种商品的不同数量的各种组合构成
了预算线。
Y I/PY Ⅲ I=PXX+PYY Ⅱ Ⅰ O I/PX 图3-10 预算线
X
预算线的斜率：
k = -dY/dY=PX/PY （3-22）
预算线和其下方与横轴和纵轴围成的区域里是满足预算线约束的各种商品组合，叫做
预算空间，满足：
PXX+PYY?I （3-23）
2、预算线的变动
如前所述，我们可知预算线的形状是由消费者的货币收入和商品的价格决定的。如果
收入或价格变动了，预算线会发生什么样的变化呢?
1)收入变化与预算线的变动
从预算线的表达式可知，当收入I变动时，预算线斜率不变，而截距发生变化。这意味着预算线随着收入的变动而平行移动。例如当收入增加时，预算线由AB往右移动至A1Bl，反之，若收入减少则向左移动A2B2，如图3-11所示。
Y A1 A A2 O B2 B B1 X