北 京 四 中
审 稿：李井军 责 编:周建勋
专题复习－力与曲线运动
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知识点能力点回顾
复习策略：
曲线运动、曲线运动的条件及其应用历来是高考的重点、难点和热点，它不仅涉及力学中的一般的曲线运动、平抛运动、圆周运动，还常常涉及天体运动问题，带电粒子在电场、磁场或复合场中的运动问题，动力学问题，功能问题，动量和冲量问题。本章知识多以现实生活中的问题（如体育竞技，军事上的射击，交通运输等）和空间技术（如航空航天）等立意命题，体现了应用所学知识对自然现象进行系统的分析和多角度、多层次的描述，突出综合应用知识的能力。本章高考几乎年年有题年年新，那么“新”在什么地方呢？“新”主要表现在：情景新、立意新、知识新、学科渗透新，新题虽然难度往往不大，但面孔生疏。难题和新题都要有丰厚的基础知识、丰富的解题经验和灵活的解题能力。不过万变不离其宗，在每一章节都有典型的习题，在题型的解题方法和规律上下功夫，在复习的过程中有意识注意各题型之间的区别、联系和渗透，就能够做到“任凭风浪起，稳坐钓鱼台”。
知识要求：
一、物体做曲线运动的条件和特点
1.当物体所受合外力（或加速度）的方向与物体的速度方向不在一条直线上时物体将做曲线运动 2. 曲线运动的特点：
①在曲线运动中，运动质点在某一点的瞬时速度方向，就是通过这一点的曲线的切线方向。 ②曲线运动是变速运动，这是因为曲线运动的速度方向是不断变化的。 ③做曲线运动的质点，其所受的合外力一定不为零，一定具有加速度。
3.物体的实际运动往往是由几个独立的分运动合成的，由已知的分运动求跟它们等效的合运动叫做运动的合成；由已知的合运动求跟它等效的分运动叫做运动的分解。
运动的合成与分解基本关系： ① 分运动的独立性；
② 运动的等效性（合运动和分运动是等效替代关系，不能并存）； ③ 运动的等时性；
④ 运动的矢量性（加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则）。 二、恒力作用下的匀变速曲线运动
1.恒力作用下的曲线运动，物体的加速度大小和方向都恒定不变，是匀变速运动。物体有初速度，而且初速度的方向与物体的加速度方向不在同一条直线上。
2.最典型的匀变速曲线运动有三类形式：
（1）只受重力作用的平抛（和斜抛）物体的运动；
（2）带电粒子以某一初速度，垂直电场方向射入匀强电场中，只受电场力作用的运动（类平抛运动）； （3)物体所受各种外力的合力恒定，而且具有的初速度方向与合外力方向成一夹角的运动。
3.恒力作用下的曲线运动，物体的速度大小和方向时刻都在变，恒力做功，物体具有的各种形式的能量在不断转化；研究速度变化规律、恒力做功的特点、各种不同形式的能相互转化的过程是我们的主要目标和任务。
4.恒力作用下的曲线运动，是沿初速度方向的匀速直线运动与恒力方向上初速度为零的匀加速直线运动的合运动。这种观点是研究匀变速曲线运动的理论基础，这种观点是力的独立作用原理的体现，这种观点也是研究匀变速曲线运动的基本方法和出发点。
三、圆周运动
1.圆周运动是变速运动，因物体的运动方向（即速度方向）在不断变化。圆周运动不可能是匀变速运动，因为即使是等速率的匀速圆周运动，其加速度方向也是时刻变化的。
2.最典型的圆周运动有：（1）天体（包括人造天体）在万有引力作用下的运动；（2）核外电于在库仑力作用下绕原子核的运动；（3）带电粒子在垂直匀强磁场的平面里在磁场力作用下的运动；（4）带电物体在各种外力（重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力等）作用下的圆周运动。
3.匀速圆周运动只是速度方向改变，而速度大小不变。做匀速圆周运动的物体，它所受的所有力的合力提供向心力，其方向一定指向圆心。非匀速圆周运动的物体所受的合外力，沿着半径指向圆心的分力，提供向心力，产生向心加速度；合力沿切线方向的分力，产生切向加速度，其效果是改变速度的大小。
4.做匀速圆周运动的物体，其动能不变，合外力所做的功为零；但其动量时刻都在变，合外力在某段时间内的
冲量不等于零。做非匀速圆周运动的物体，其动能、动量都变化，合外力所做的功不为零，合外力的冲量也不为零。
能力要求：
一、平抛运动的求解方法 1.常规解法是运动的分解 （1）水平方向和竖直方向的两个分运动是相互独立的，其中每个分运动都不会因另一分运动的存在而受到影响。
t?（2）水平方向和竖直方向的两个分运动及其合运动具有等时性。由
2hg可知，平抛物体在空中运动的时间t只取决于物体抛出时离地的高度h，而与抛出时的初速度v0无关。
2.特殊的解题方法是选择一个适当的参考系。选择一个做自由落体运动的物体为参考系，平抛物体相对于这个参考系，是水平匀速直线运动。选择一个相同初速度的水平匀速直线运动物体为参考系，平抛物体相对于这个参考系是做自由落体运动。这种方法在解判断题时是方便的。
3.类平抛运动
（1）平抛运动是典型的匀变速曲线运动，应掌握这一问题的处理思路、方法，并迁移到讨论类平抛（如带电粒子在匀强电场中的偏转等）问题上来，这一问题也是高考的热点。
物体所做的运动不是真正的平抛运动，而是类平抛运动，即该运动可看成是某一方向的匀速直线运动和垂直此方向的匀加速直线运动，这类运动在电场中会涉及，处理方法与平抛运动类似。
类平抛运动的解题方法与平抛运动解题方法一样，但要分清其加速度如何。
（2）所有的抛体运动，都做加速度相同的匀变速运动，其运动规律有着必然的联系。 二、匀速圆周运动的分析方法
对于匀速圆周运动的问题，一般可按如下步骤进行分析： （1）确定做匀速圆周运动的物体作为研究对象。
（2）明确运动情况，包括搞清运动速率v，轨迹半径R及轨迹圆心O的位置等。只有明确了上述几点后，才能知道运动物体在运动过程中所需的向心力大小( mv2/R )和向心力方向（指向圆心）。
（3）分析受力情况，对物体实际受力情况做出正确的分析，画出受力图，确定指向圆心的合外力F（即提供向心力）。
v2?2??F?m?mR?2?mR??RT??解得结果。 （4）选用公式
三、圆周运动中向心力的特点
（1）匀速圆周运动：由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变，故只存在向心加速度，物体受到外力的合力就是向心力。可见，合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心，是物体做匀速圆周运动的条件。
（2）变速圆周运动：速度大小发生变化，向心加速度和向心力都会相应变化。求物体在某一点受到的向心力时，应使用该点的瞬时速度，在变速圆周运动中，合外力不仅大小随时间改变，其方向也不沿半径指向圆心。合外力沿半径方向的分力（或所有外力沿半径方向的分力的矢量和）提供向心力，使物体产生向心加速度，改变速度的方向；合外力沿轨道切线方向的分力，使物体产生切向加速度，改变速度的大小。
（3）当物体所受的合外力F小于所需要提供的向心力mv2/R时，物体做离心运动。 四、竖直面内完成圆周运动的临界条件
2
v2mg?mR，所以v?gR。并要会分析，v?gR，v?gR时要完成圆周运动，对图甲和图戊在最高点：
受力情况。
对图甲、图乙、图丁，在最高点：v=0，并要会分析v＞0时，受力情况及图丁
v?gR的运动情况。
五、若除重力外，还受其他恒定的外力，可将该力与重力等效为新的重力mg’，进行分析，并要注意相应的最
高点的变化。
特别提示：
1.匀变速曲线运动和非匀变速曲线运动的区别：加速度方向与初速度方向不共线是曲线运动的共同特点。加速度矢量恒定，则物体做匀速曲线运动：加速度矢量变化，则物体做非匀速曲线运动。平抛、斜抛运动属匀变速曲线
运动（g恒定），一切圆周运动均为非匀变速曲线运动（a方向一定变）。
2.皮带轮传动系统中各点v线、a向、ω大小关系：在同一个圆盘上各点（或同一个球体上各点）ω相等，a向与r成正比；在同一圆周上或同一皮带轮上各点v线相等，a向与r成反比。
3.解答圆周的运动动力学问题，首先必须明确研究对象运动的轨道平面和圆心的位置，以便确定向心力的方向和半径的大小。例如地球绕地轴自转，非赤道平面上的点做圆周运动的圆心不是地球球心，而是圆平面与地轴的交点。再如：带电粒子在匀强磁场中的圆周运动必须据特殊点作出有关半径和圆心，并据几何关系求出半径的大小。其次必须明确向心力是按效果来命名的力，它不是受力分析中的新的力，而是一个力或某几个力的合力。最后对圆周运动过程中的临界问题应加以分析，轻杆、轻绳、光滑轨道等名词均属隐含条件。
4.若是恒力作用下的曲线运动，要注意运动的分解，一般地把运动分解为恒力作用下的直线运动和与恒力垂直方向上的匀速直线运动，分解后分方向求出加速度、速度、位移等，要注意分运动的独立性与同时性的应用。 ? 例题精讲
例题1.如图2-1所示，两个相对斜面的倾角分别为37°和53°，在斜面顶点把两个小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上。若不计空气阻力，则A、B两个小球的运动时间之比为（ ）
A.1:1 B.4:3 C.16:9 D.9：16 解析：由平抛运动的位移规律可知：
x?v0t
y?12gt2
t?2v0tan?/g
∵tan??y/x ∴tAtan37?9??ttan53?16 ∴B故D选项正确。
点评：灵活运用平抛运动的位移规律解题，是基本方法之一。应用时必须明确各量的物理意义，不能盲目套用公式。
例题2. 从空中同一地点沿水平方向同时抛出两个小球，它们的初速度方向相反、大小分别为
v01和v02，求经过多长时间两小球速度方向间的
夹角为90°？ 分速度都等于gt，如
解析：经过时间t，两小球水平分速度
v01、v02不变，竖直
图2-2所示，t时刻小球1的速度v1与x轴正向夹角a1为
tana1?gt/v01
小球2的速度v2与x轴正向夹角a2为
tana2??gt/v02
a2?a1??2
由图可知
联立上述三式得
t?v01v02/g点评：弄清平抛运动的性质与平抛运动的速度变化规律是解决本题的关键。 例题3.如图2-3所示，一带电粒子以竖直向上的初速度
v0，自
A处进入电场强等。当粒子到达间的电势差等于度增大，表明带
度为E、方向水平向右的匀强电场，它受到的电场力恰与重力大小相图中B处时，速度大小仍为
v0，但方向变为水平向右，那么A、B之
多少？从A到B经历的时间为多长？
解析：带电粒子从A→B的过程中，竖直分速度减小，水平分速
电粒子的重力不可忽略，且带正电荷，受电场力向右。依题意有 mg?Eq
(动能不变) 根据动能定理： UABq?mgh?0，
2v?0?2gh,v0?gt 0在竖直方向上做竖直上抛运动，则
vv2h?,t?02gg。 解得：
222Eqv0Ev0mghmgv0UAB?????qq2g2gq2g ∴
点评：当带电粒子在电场中的运动不是类平抛运动，而是较复杂的曲线运动时，可以把复杂的曲线运动分解到
两个互相正交的简单的分运动来求解。
例题4.如图2-4所示，让一价氢离子、一价氦离子和二价氦离子的混合物由静止经过同一加速电场加速，然后在同一偏转电场里偏转，它们是否会分成三股？请说明理由。
解析：设带电粒子质量为m、电量为q，经过加速电场加速后，再进入偏转电场中发生偏转，最后射出。设加速电压为U1，偏转电压为U2，偏转电极长为L，两极间距离为
12v?mvd，带电粒子由静止经加速电压加速，则U1q=2，
2U1qm。
带电粒子进入偏转电场中发生偏转，则水平方向上：L?vt，
121U2q2U2qL2U2L2y?at???t??222dm4U1d。 2dmv竖直方向上：
可见带电粒子射出时，沿竖直方向的偏移量
y与带电粒子的质量m和电量q无关。而一价氢离子、一价氦离子
和二价氦离子，它们仅质量或电量不相同，都经过相同的加速和偏转电场，故它们射出偏转电场时偏移量相同，因
而不会分成三股，而是会聚为一束粒子射出。
点评：带电粒子在电场中具有加速作用和偏转作用。分析问题时，注意运动学、动力学、功和能等有关规律的综合运用。
例题5.如下图所示，一对杂技演员（都视为质点）乘秋千（秋千绳处于水平位置）从A点由静止出发绕O点下摆，当摆到最低点B时，女演员在极短时间内将男演员沿水平方向推出，然后自己刚好能回到高处A.求男演员落地点C与O点的水平距离s。已知男演员质量m1和女演员质量m2之比m1/m2＝2,秋千的质量不计，秋千的摆长为R, C点与A点的水平高度差为5R 。
解析：设分离前男女演员在秋千最低点B的速度为v0，由机械能守恒定律得：
1(m1+m2)gR=(m1+m2)v022
设刚分离时男演员速度的大小为v1 ,方向与v0相同；女演员速度的大小为v2，方向与v0相反，由动量守恒得：
(m1+m2)v0=m1v1?m2v2。
分离后，男演员做平抛运动，设男演员从被推出到落在C点所需的时间为t，根据题给条件，由运动学规律：
4R?12gt,x?v1t2
根据题给条件，女演员刚好回到A点，由机械能守恒定律：
m2gR?1m2v22m?2m2 2，已知1以上各式联立可得x＝8R.
例题6.如下图所示，墙壁上落有两只飞镖，它们是从同一位置水平射出的，飞镖A与竖直墙壁成53°角，飞镖B与竖直墙壁成37°角，两者相距为d.假设飞镖的运动是平抛运动，求射出点离墙壁的水平距离。（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）
解析：设射出点离墙壁的水平距离为x，A下降高度h1，B下降高度h2,据平抛运动规律有：
h1?xcot53/2，h2?xcot37/2
而h2－h1＝d，
00x?联立解得，
24d7
点评：本题关键是理解箭头指向的含义，箭头指向代表速度的方向。
例题7.假设小球带+q电荷，由长为L的绝缘绳系住在竖直向上、场强为E的匀强电场中完成竖直平面内的圆周运动，则运动中的最小速度为多少？若所加电场水平向右时又怎样？
解析：(1)若qE＝mg,则小球可以任意小的速度做匀速圆周运动。 若qE v2qELmg?qE?m,v?gL?Lm 若qE>mg,则小球经最低点时速度最小 v2qELqE?mg?m,v??gLLm (2)若所加电场为水平向右，则小球完成竖直面内的圆周运动的最小速度可以这样求得：把mg与qE等效为 (mg)2?(qE)22，则 2v2L(mg)?(qE)?m,v?(mg)2?(qE)2Lm 点评：要注意分清几何最高点与物理最高点。 例题8.如下图所示，两绳系一个质量为m＝0.1 kg的小球，两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处，上面绳长L＝2 m,两绳都拉直时与轴夹角分别为30°和45°。问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧？ 解析：两绳张紧时，小球受的力如上图所示，当ω由0逐渐增大时，ω可能出现两个临界值。 (1)BC恰好拉直，但F2仍然为零，设此时的角速度为ω1，则有 Fx＝F1sin30°＝mω12Lsin30° ① Fy＝F1cos30°－mg＝0 ② 代入已知解①②得，ω1＝2.40 rad/s. (2) AC由拉紧转为恰好拉直，但F1已为零，设此时的角速度为ω2，则有 Fx＝F2sin45°＝mω22Lsin30° ③ Fy＝F2cos45°－mg＝0 ④ 代入已知解③④得ω2＝3.16 rad/s. 可见，要使两绳始终张紧，ω必须满足2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s. 例题9. 光从液面到空气时的临界角C为45°，如图3-16所示，液面上有一点光源S发出一束光垂直入射到水平放置于液体中且到液面的距离为d的平面镜M上，当平面镜M绕垂直过中心O的轴以角速度?做逆时针匀速转动时，观察者发现水面上有一光斑掠过，则观察者观察到的光斑在水面上掠过的最大速度为多少？