难度中档．
20．（12分）某工厂今年前三个月生产某种产品的数量统计表格如下：
月份 数量（万件） 1月 1 2月 1.2 3月 1.3 为了估测以后每个月的产量，以这三个月产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系．模拟函数可选择二次函数y=px2+qx+r（p，q，r为常数，且p≠0）或函数y=abx+c（a，b，c为常数）．已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由．
【分析】分别求出两函数解析式，预算第四个月的产量，根据误差大小作出判断． 【解答】解：若选择二次函数模型f（x）=px2+qx+r，则
，
解得
，∴f（x）=﹣0.05x2+0.35x+0.7，
∴f（4）=1.3，
若选择函数模型g（x）=abx+c，则
，
解得
，∴g（x）=﹣0.8×0.5x+1.4
∴g（4）=1.35
显然g（4）更接近于1.37，
故选用y=﹣0.8×0.5x+1.4作为模拟函数更好．
【点评】本题考查了函数模型的应用，函数解析式的解法，属于中档题．
21．（12分）已知函数（1）求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）的单调性，并加以证明；
（3）若实数t满足f（t﹣1）+f（t）＞0，求t的取值范围．
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是（﹣1，1）上的奇函数，且．
【分析】（1）由f（0）=0，解得b的值，再根据得f（x）的解析式．
，解得a的值，从而求
（2）设﹣1＜x1＜x2＜1，作差判断f（x1）﹣f（x2）的符号，可得函数f（x）在（﹣1，1）上是减函数．
（3）由不等式f（t﹣1）+f（t）＜0，可得f（t﹣1）＜f（﹣t），可得，
由此求得t的范围．
【解答】解：（1）由已知得
解得∴
；
（2）f（x）在（﹣1，1）上递增．理由如下： 任取x1，x2∈（﹣1，1），且则x1＞x2， 则
=
∵x1，x2∈（﹣1，1） ∴1﹣x1x2＞0，又x1＞x2
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，从而f（x1）＞f（x2） 即f（x）在（﹣1，1）上递增．
（3）f（t﹣1）+f（t）＞0可化为f（t﹣1）＞﹣f（t）=f（﹣t），
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∴．
【点评】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，属于中档题．
22．（12分）对于函数f（x），若存在一个实数a使得f（a+x）=f（a﹣x），我们就称y=f（x）关于直线x=a对称．已知f（x）=x2﹣2x+m（e﹣x+1+ex﹣1）． （1）证明
f（x）关于
x=1
对称，并据此求：
的值；
（2）若f（x）只有一个零点，求m的值．
【分析】（1）根据函数的解析式，求出f（1+x）的解析式，即可得到f（1+x）=f（1﹣x），问题得以证明，根据对称性即可求出答案．
（2）由（1）知y=f（x）关于x=1对称，且f（x）只有一个零点，则这个零点一点就是x=1，代值计算即可．
【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣2x+m（e﹣x+1+ex﹣1）， ∴f（1+x）=（1+x）2+2（1+x）+m（e﹣（1+x）+1+e1+x﹣1）， =x2﹣1+m（e﹣x+ex），
f（1﹣x）=（1﹣x）2+2（1﹣x）+m（e﹣（1﹣x）+1+e1﹣x﹣1）， =x2﹣1+m（ex+e﹣x），
从而有f（1+x）=f（1﹣x），即f（x）关于x=1对称， 那么∴
，
=f（1）=2m﹣1；
（2）由（1）知y=f（x）关于x=1对称，且f（x）只有一个零点， 则这个零点一点就是x=1， ∴f（1）=0， 即2m﹣1=0， ∴m=
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当＞0 故
时，x=1时，f（x）=0，x≠1时，f（x）
时，只有一个零点，符合题意．
【点评】本题考查了函数零点的应用，考查了转化和划归能力和运算能力，属于中档题．
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