（3）甲不在排头或排尾，同时乙不在中间的不同排法有多少种？ （3120） --------------------------------------------------- 【解析】特殊情况先安排特殊
第一种情况：甲不在排头排尾 并且不在中间的情况
去除3个位置 剩下4个位置供甲选择 C4取1＝4， 剩下6个位置 先安中间位置 即除了甲乙2人，其他5人都可以 即以5开始，剩下的5个位置满足P原则 即5×P55＝5×120＝600 总数是4×600＝2400
第2种情况：甲不在排头排尾， 甲排在中间位置 则 剩下的6个位置满足P66＝720
因为是分类讨论。所以最后的结果是两种情况之和 即 2400＋720＝3120
（4）甲、乙必须相邻的排法有多少种？ （1440） -----------------------------------------------
【解析】相邻用捆绑原则 2人变一人，7个位置变成6个位置，即分步讨论 第1： 选位置 C6取1＝6
第2： 选出来的2个位置对甲乙在排 即P22＝2 则安排甲乙符合情况的种数是2×6＝12 剩下的5个人即满足P55的规律＝120 则 最后结果是 120×12＝1440
（5）甲必须在乙的左边（不一定相邻）的不同排法有多少种？（2520） ------------------------------------------------------- 【解析】
这个题目非常好,无论怎么安排甲出现在乙的左边 和出现在乙的右边的概率是一样的。 所以我们不考虑左右问题 则总数是P77＝5040 ,根据左右概率相等的原则 则排在左边的情况种数是5040÷2＝2520
4、用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数. （1）能组成多少个四位数？ （300）
--------------------------------------------------------
【解析】 四位数 从高位开始到低位 高位特殊 不能排0。 则只有5种可能性 接下来3个位置满足P53原则＝5×4×3＝60 即总数是 60×5＝300
（2）能组成多少个自然数？ （1631） --------------------------------------------------------- 【解析】自然数是从个位数开始所有情况 分情况
1位数： C6取1＝6
2位数： C5取2×P22＋C5取1×P11＝25 3位数： C5取3×P33＋C5取2×P22×2＝100 4位数： C5取4×P44＋C5取3×P33×3＝300
5位数： C5取5×P55＋C5取4×P44×4＝600
6位数： 5×P55＝5×120＝600 总数是1631
这里解释一下计算方式 比如说2位数： C5取2×P22＋C5取1×P11＝25
先从不是0的5个数字中取2个排列 即C5取2×P22 还有一种情况是从不是0的5个数字中选一个和0搭配成2位数 即C5取1×P11 因为0不能作为最高位 所以最高位只有1种可能
（3）能组成多少个六位奇数？ （288） ---------------------------------------------------
【解析】高位不能为0 个位为奇数1，3，5 则 先考虑低位，再考虑高位 即 3×4×P44＝12×24＝288
（4）能组成多少个能被25整除的四位数？ （21） ----------------------------------------------------
【解析】 能被25整除的4位数有2种可能 后2位是25： 3×3＝9
后2位是50： P42＝4×3＝12 共计9＋12＝21
（5）能组成多少个比201345大的数？ （479）
------------------------------------------------ 【解析】
从数字201345 这个6位数看 是最高位为2的最小6位数 所以我们看最高位大于等于2的6位数是多少？
4×P55＝4×120＝480 去掉 201345这个数 即比201345大的有480－1＝479
（6）求所有组成三位数的总和. （32640） --------------------------------------------- 【解析】每个位置都来分析一下 百位上的和：M1=100×P52(5+4+3+2+1) 十位上的和：M2=4×4×10(5+4+3+2+1) 个位上的和：M3=4×4(5+4+3+2+1) 总和 M＝M1+M2+M3=32640
5、生产某种产品100件，其中有2件是次品，现在抽取5件进行检查. （1）“其中恰有两件次品”的抽法有多少种？ （152096）
【解析】 也就是说被抽查的5件中有3件合格的 ，即是从98件合格的取出来的 所以 即C2取2×C98取3＝152096
（2）“其中恰有一件次品”的抽法有多少种？ （7224560）
【解析】同上述分析，先从2件次品中挑1个次品，再从98件合格的产品中挑4个
C2取1×C98取4＝7224560
（3）“其中没有次品”的抽法有多少种？ （67910864）
【解析】则即在98个合格的中抽取5个 C98取5＝67910864
（4）“其中至少有一件次品”的抽法有多少种？ （7376656）
【解析】全部排列 然后去掉没有次品的排列情况 就是至少有1种的 C100取5－C98取5＝7376656
（5）“其中至多有一件次品”的抽法有多少种？ （75135424）
【解析】所有的排列情况中去掉有2件次品的情况即是至多一件次品情况的 C100取5－C98取3＝75135424
6、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有（ ）
(A)140种 (B)84种 (C)70种 (D)35种
-------------------------------------------------------- 【解析】根据条件我们可以分2种情况
第一种情况：2台甲＋1台乙 即 C4取2×C5取1＝6×5＝30 第二种情况：1台甲＋2台乙 即 C4取1×C5取2＝4×10＝40 所以总数是 30＋40＝70种
7、在50件产品中有4件是次品，从中任抽5件，至少有3件是次品的抽法有__种. ------------------------------------------------------- 【解析】至少有3件 则说明是3件或4件 3件：C4取3×C46取2＝4140 4件：C4取4×C46取1＝46
共计是 4140＋46＝4186
8、有甲、乙、丙三项任务, 甲需2人承担, 乙、丙各需1人承担.从10人中选派4人承担这三项任务, 不同的选法共有（ C ）
(A)1260种 (B)2025种 (C)2520种 (D)5040种
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【解析】分步完成
第一步：先从10人中挑选4人的方法有：C10取4＝210
第二步：分配给甲乙并的工作是C4取2×C2取1×C1取1＝6×2×1＝12种情况 则根据分步原则 乘法关系 210×12＝2520
9、12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有__
C(4,12)C(4,8)C(4,4)
___种
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【解析】每个路口都按次序考虑
第一个路口是C12取4
第二个路口是C8取4 第三个路口是C4取4
则结果是C12取4×C8取4×C4取4
可能到了这里有人会说 三条不同的路不是需要P33吗 其实不是这样的 在我们从12人中任意抽取人数的时候，其实将这些分类情况已经包含了对不同路的情况的包含。 如果再×P33 则是重复考虑了
如果这里不考虑路口的不同 即都是相同路口 则情况又不一样 因为我们在分配人数的时候考虑了路口的不同。所以最后要去除这种可能情况 所以在上述结果的情况下要÷P33
10、在一张节目表中原有8个节目，若保持原有节目的相对顺序不变，再增加三个节目，求共有多少种安排方法？ 990
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【解析】
这是排列组合的一种方法 叫做2次插空法
直接解答较为麻烦，故可先用一个节目去插9个空位，有P(9,1)种方法；再用另一个节目去插10个空位，有P(10,1)种方法；用最后一个节目去插11个空位，有P(11,1)方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为P(9,1)×P(10,1)×P(11,1)=990种。
另解：先在11个位置中排上新添的三个节目有P(11,3)种，再在余下的8个位置补上原有的8个节目，只有一解，所以所有方法有P311×1=990种。
4. 【分享】排列组合新讲义
作者：徐克猛（天字1号） 2009-2-19
一、 排列组合定义
1、什么是C
公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列（即不排序）。 例如：编号1～3的盒子，我们找出2个来使用， 这里就是运用组合而不是排列，因为题目只是要求找出2个盒子的组合。即C（3，2）＝3
2、什么是P或A
公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列(即排序)。
例如：1～3，我们取出2个数字出来组成2位数，可以是先取C（3，2）后排P22，就构成了 C（3，2）×P（2，2）＝A（3，2）
3、A和C的关系
事实上通过我们上面2个对定义的分析，我们可以看出的是，A比C多了一个排序步骤，即组合是排列的一部分且是第一步骤。
4、计算方式以及技巧要求
组合：C（M，N）＝M！÷（ N！×（M－N）！） 条件：N<=M 排列：A（M，N）＝M！÷（M－N）！ 条件：N<=M
为了在做排列组合的过程中能够对速度有必要的要求，我需要大家能够熟练的掌握1～7的阶乘， 当然在运算的过程中，我们要学会从逆向思维角度考虑问题，例如C（M，N）当中N取值过大，那么我们可以看M－N的值是否也很大。如果不大。我们可以求C（M，[M－N]），因为 C（M，N）＝C（M，[M－N]）
二、
排列组合常见的恒等公式
1、C（n，0）＋C（n，1）＋C（n，2）＋……＋C（n，n）＝2^n 2、C（m，n）＋C（m，n＋1）＝C（m＋1，n＋1） 针对这2组公式我来举例运用
(1)有10块糖，假设每天至少吃1块，问有多少种不同的吃法？ 解答：C（9，0）＋C（9，1）＋……＋C（9，9）＝2^9=512
(2)，公司将14副字画平均分给甲乙筛选出参加展览的字画，按照要求，甲比乙多选1副，且已知甲按照要求任意挑选的方法与乙任意挑选的方法 之和为70，求，甲挑选了多少副参加展览？
C（8，n）＝70 n＝4 即得到甲选出了4副。
三、 排列组合的基本理论精要部分（分类和分步）
(1)、加法原理（实质上就是一种分类原则）：一个物件，它是由若干个小块组成的，我们要知道这个物件有多重，实际上可以分来算，比如，我们知道每一个小块的重量，然后计算总和就等于这个物件的重量了，这就是我们要谈的分类原则。排列组合当中，当我们要求某一个事件发成的可能性种类，我们可以将这个事件分成若干个小事件来看待。化整为零， 例如：7个人排座位，其中甲乙都只能坐在边上。问有几种方法。根据分类的方法。我们可以看，
第一类情况：甲坐在左边，乙坐在右边，其他人随便坐，A（5，5） 第二类情况：甲坐在右边，乙坐在左边，其他人随便坐，A（5，5）
我们分别计算出2种情况进而求和即得到答案。 这就是分类原则。 这样就是A（5，5）＋A（5，5）＝240
(2)、乘法原理（实质上就是一种分步原则）：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，??，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×?×mn种不同的方法．
例如： 7个人排座位，其中甲乙都只能坐在边上。问有几种方法，按照分步原则， 第一步：我们先对甲乙之外的5个人先排序座位，把两端的座位空下来，A（5，5） 第二步：我们再排甲乙，A（2，2） 这样就是 A（5，5）×A（2，2）＝240
如何区分两个原理：