（2）求∠ACB的大小．
【分析】（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；
（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°． 【解答】（1）证明：∵CD是边AB上的高， ∴∠ADC=∠CDB=90°， ∵BD=1，CD=2，AD=4， ∴
．
∴△ACD∽△CBD； （2）∵△ACD∽△CBD， ∴∠A=∠BCD，
在△ACD中，∠ADC=90°， ∴∠A+∠ACD=90°， ∴∠BCD+∠ACD=90°， 即∠ACB=90°．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的判定定理与性质定理．
21．（6分）（2017秋?相城区期中）如图，P是⊙O外一点，C是⊙O上一点，求证：∠ACB＞∠APB．
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【分析】连接AN，根据圆周角定理得∠ANB=∠ACB，再由外角的性质可得出：∠ACB＞∠APB．
【解答】证明：如图，连接AN， ∴∠ANB=∠ACB， ∵∠ANB=∠APB+∠NAC， ∴∠ANB＞∠APB， ∴∠ACB＞∠APB．
【点评】本题考查了圆周角定理，以及外角的性质，外角大于和它不相邻的任何一个内角．
22．（6分）（2017秋?相城区期中）如图，在长32米宽20米的矩形耕地上，修筑同样宽的三条矩形道路，要使耕地面积达到570平方米，则道路宽度是多少米？
【分析】设道路宽度是x米，根据矩形地块的面积﹣矩形道路的面积=耕地面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【解答】解：设道路宽度是x米，
根据题意得：32×20﹣（32x+2×20x﹣2x2）=570， 整理得：x2﹣36x+35=0，
解得：x1=1，x2=35（不合题意，舍去）． 答：道路宽度是1米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方
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程是解题的关键．
23．（7分）（2017秋?相城区期中）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，且∠A=∠D． （1）求∠ACD的度数； （2）若CD=3
，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OC，由过点C的切线交AB的延长线于点D，推出OC⊥CD，推出∠OCD=90°，即∠D+∠COD=90°，由AO=CO，推出∠A=∠ACO，推出∠COD=2∠A，可得3∠D=90°，推出∠D=30°，即可解决问题
（2）先求△OCD和扇形OCB的面积，进而可求出图中阴影部分的面积． 【解答】解：（1）连接OC，
∵过点C的切线交AB的延长线于点D， ∴OC⊥CD， ∴∠OCD=90°， 即∠D+∠COD=90°， ∵AO=CO， ∴∠A=∠ACO， ∴∠COD=2∠A， ∵∠A=∠D， ∴∠COD=2∠D， ∴3∠D=90°， ∴∠D=30°，
∴∠ACD=180°﹣∠A﹣∠D=180°﹣30°﹣30°=120°．
（2）由（1）可知∠COD=60°
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在Rt△COD中，∵CD=3∴OC=3
×
=3，
，
∴阴影部分的面积=×3×3﹣=，
【点评】本题主要考查切线的性质及扇形面积的计算，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，学会用分割法求阴影部分面积．
24．（7分）（2017秋?相城区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个实数根
（1）求m的范围；
（2）若方程两个实数根为x1、x2，且x1+3x2=8，求m的值．
【分析】（1）由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围；
（2）由根与系数的关系可求得x1+x2的值，代入x1+3x2=8则可求得x2的值，代入方程则可求得m． 【解答】解：
（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个实数根， ∴△≥0，即（﹣2）2﹣4m≥0，解得m≤1； （2）∵x1、x2是方程x2﹣2x+m=0有两个实数根， ∴x1+x2=2， ∵x1+3x2=8，
∴2+x2=8，解得x2=6，
代入方程可得62﹣2×6+m=0，解得m﹣24．
【点评】本题主要考查方程根的判别式及根与系数的关系，在（2）中利用根与系数的关系求得方程的根是解题的关键．
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25．（8分）（2017秋?相城区期中）如图⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=45°，延长BC于D，连接AD，使得AD∥OC，AB交OC于E． （1）求证：AD与⊙O相切； （2）若AE=2
，CE=2．求⊙O的半径和AB的长度．
【分析】（1）连接OA，要证明切线，只需证明OA⊥AD，根据AD∥OC，只需得到OA⊥OC，根据圆周角定理即可证明；
（2）设⊙O的半径为R，则OA=R，OE=R﹣2，AE=2
，在Rt△OAE中根据勾股
定理可计算出R=4；作OH⊥AB于H，根据垂径定理得AH=BH，再利用面积法计算出OH=═
．
，然后根据勾股定理计算出AH=
，再利用垂径定理得出AB=2AH
【解答】（1）证明：连接OA； ∵∠ABC=45°，
∴∠AOC=2∠ABC=90°， ∴OA⊥OC； 又∵AD∥OC， ∴OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线．
（2）解：设⊙O的半径为R，则OA=R，OE=R﹣2，AE=2在Rt△OAE中，∵AO2+OE2=AE2， ∴R2+（R﹣2）2=（2
）2，解得R=4，
，
作OH⊥AB于H，如图，OE=OC﹣CE=4﹣2=2， 则AH=BH，
∵OH?AE=?OE?OA，
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