∴OH===，
=
，
在Rt△AOH中，AH=∵OH⊥AB， ∴AB=2AH=
．
【点评】本题考查了切线的判定定理．综合运用了圆周角定理、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、30度的直角三角形的性质得到有关线段之间的关系，熟练运用平行线分线段成比例定理进行求解．
26．（6分）（2017秋?相城区期中）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB上的点，CD平分∠ECB，且BC2=BD?BA． （1）求证：∠A=∠ECD； （2）求证：
．
【分析】（1）由BC2=BD?BA，∠B是公共角，可证得△BCD∽△BAC，又由CD平分∠ECB，可得∠ECD=∠A；
（2）由△BCD∽△BAC与△CED∽△ACD，可得【解答】证明：（1）∵BC2=BD?BA， ∴BD：BC=BC：BA， ∵∠B是公共角， ∴△BCD∽△BAC，
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，，继而证得．
∴∠BCD=∠A， ∵CD平分∠ECB， ∴∠ECD=∠BCD， ∴∠ECD=∠A，
（2）∵∠EDC=∠CDA， ∴△CED∽△ACD，
∵△BCD∽△BAC，△CED∽△ACD， ∴∴
，．
，
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
27．（10分）（2017秋?相城区期中）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D在⊙O上，OD∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CD交OE边于点F． （1）求证：∠ODF=∠BDE； （2）求证：△DOE∽△ABC；
（3）连接OC，设△DOE的面积为S1，四边形BCOD的面积为S2，若的值．
，求
【分析】（1）根据圆周角定理和垂直求出∠DEO=∠ACB，根据平行得出∠DOE=∠ABC，根据相似三角形的判定得△DOE∽△ABC，根据圆周角定理得出∠A=∠BDC，推出∠ODE=∠BDC即可；
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（2）根据圆周角定理和垂直求出∠DEO=∠ACB，根据平行得出∠DOE=∠ABC，根据相似三角形的判定得出结论；
（3）设出OE=2a，OD=3a，根据△DOE～△ABC，求出S△ABC=4S△DOE=4S1，再得出S△DBE=S1，进而得出S2=S1，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵DE⊥AB， ∴∠DEO=90°， ∴∠DEO=∠ACB， ∵OD∥BC， ∴∠DOE=∠ABC， ∴△DOE～△ABC； ∴∠ODE=∠A， ∵∠A和∠BDC是 ∴∠A=∠BDC， ∴∠ODE=∠BDC， ∴∠ODF=∠BDE；
所对的圆周角，
（2）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵DE⊥AB， ∴∠DEO=90°， ∴∠DEO=∠ACB， ∵OD∥BC， ∴∠DOE=∠ABC， ∴△DOE～△ABC；
（3）解：∵，
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∴设OE=2a，OD=3a，
∴OB=OC=OD=3a，AB=2OD=6a， ∵△DOE～△ABC， ∴
=（
）2=
即S△ABC=4S△DOE=4S1， ∵OA=OB， ∴S△BOC=S△ABC， 即S△BOC=2S1， ∵DE⊥AB， ∴∠BED=90°，
∵BE=OB﹣OE=3a﹣2a=a，
∴S△DBE=BE×DE=a×DE=××2a×DE=×∵S2=S△BOC+S△DOE+S△DBE=2S1+S1+S1=S1， ∴
=
=
×DE=S1，
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理，平行线的性质，三角形的面积等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
28．（10分）（2017秋?相城区期中）如图，C为∠AOB的边OA上一点，OC=6，N为边OB上异于点O的一动点，P是线段CN上一点，过点P分别作PQ∥OA
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交OB于点Q，PM∥OB交OA于点M． （1）若OM=4，OQ=1， ①求ON的长；
②若以M为圆心MP长为半径的⊙M与CN相切，求CN的长； （2）点N在边OB上运动时，四边形OMPQ始终保持为菱形．那么否发生变化？如果变化，求出其取值范围；如果不变，请说明理由．
值是
【分析】（1）①设ON=x，则NQ=ON﹣OQ=x﹣1，先判断四边形PMOQ为平行四边形得到PQ=OM=4，再证明△NQP∽△NOC，然后利用相似比可计算出x； ②根据切线的性质得MP⊥CN，则ON⊥CN，所以∠ONC=90°，然后利用勾股定理可计算出CN的长；
（2）利用菱形的性质得PQ=OQ=OM，再根据平行线分线段成比例定理，由PQ∥OC得到得
+
=
，则
=
，由PQ∥OC得到
﹣
==．
，则
=
，把两式相加
=1，然后两边除以OM可得到
【解答】解：（1）①设ON=x，则NQ=ON﹣OQ=x﹣1， ∵PQ∥OA，PM∥OB，
∴四边形PMOQ为平行四边形， ∴PQ=OM=4， ∵PQ∥OC， ∴△NQP∽△NOC， ∴
=
，即
=，
∴x=3，
即ON的长为3；
②∵以M为圆心MP长为半径的⊙M与CN相切， ∴MP⊥CN，
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而MP∥ON， ∴ON⊥CN， ∴∠ONC=90°， ∴CN=（2）
=
；
值不发生变化．理由如下：
∵四边形OMPQ为菱形， ∴PQ=OQ=OM， ∵PQ∥OC， ∴∴
==
， ，
∵PQ∥OC， ∴∴∴即∴∴
==++﹣
， ， ==1， =，
值不发生变化．
=1，
【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握平行四边形的判定与性质、菱形的性质和切线的性质．灵活运用相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理表示线段之间的关系．
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