第五章 相似矩阵及二次型
1? 试用施密特法把下列向量组正交化? ?111? (1)(a1, a2, a3)??124??
?139??? 解 根据施密特正交化方法? ?1? b1?a1??1??
?1????1?[b1,a2]?b1??0?? b2?a2??1?[b1,b1]???1?[b1,a3][b2,a3]1b1?b2???2?? b3?a3?[b1,b1][b2,b2]3?1????1?0 (2)(a1, a2, a3)???1?1?1?101?1?1?? 1?0?? 解 根据施密特正交化方法? ?1??0? b1?a1????
?1?1????1???3?[b1,a2]1b1???? b2?a2?[b1,b1]3?2??1???1??3?[b1,a3][b2,a3]1 b3?a3?b1?b2????
[b1,b1][b2,b2]5?3??4? 2? 下列矩阵是不是正交阵: ?1?11??23??1?1 (1)??1?;
2??211?1??32?? 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵? ?1?8?4??999??814? (2)?????
999??447?????999? 解 该方阵每一个行向量均是单位向量? 且两两正交? 故为正交阵?
3? 设x为n维列向量? xTx?1? 令H?E?2xxT? 证明H是对称的正交阵? 证明 因为
HT?(E?2xxT)T?E?2(xxT)T?E?2(xxT)T ?E?2(xT)TxT?E?2xxT? 所以H是对称矩阵? 因为
HTH?HH?(E?2xxT)(E?2xxT)
?E?2xxT?2xxT?(2xxT)(2xxT) ?E?4xxT?4x(xTx)xT ?E?4xxT?4xxT ?E? 所以H是正交矩阵?
4? 设A与B都是n阶正交阵? 证明AB也是正交阵? 证明 因为A? B是n阶正交阵? 故A?1?AT? B?1?BT?
(AB)T(AB)?BTATAB?B?1A?1AB?E?
故AB也是正交阵?
5? 求下列矩阵的特征值和特征向量: ?2?12? (1)?5?33?;
??10?2???2???123??(??1)3? 解 |A??E|?5?3???10?2??故A的特征值为???1(三重)? 对于特征值???1? 由
?3?12??101?A?E??5?23?~?011??
??10?1??000?????得方程(A?E)x?0的基础解系p1?(1? 1? ?1)T? 向量p1就是对应于特征值???1的特征值向量.
?123? (2)?213?;
?336???1??23 解 |A??E|?21??3???(??1)(??9)?
336??故A的特征值为?1?0? ?2??1? ?3?9? 对于特征值?1?0? 由
?123??123?A??213?~?011?? ?336??000?????得方程Ax?0的基础解系p1?(?1? ?1? 1)T? 向量p1是对应于特征值?1?0的特征值向量. 对于特征值?2??1, 由
?223??223?A?E??223?~?001??
?337??000?????得方程(A?E)x?0的基础解系p2?(?1? 1? 0)T? 向量p2就是对应于特征值?2??1的特征值向量? 对于特征值?3?9? 由
11?1???823????1??A?9E?2?83~?01??? ?33?3??2????000?得方程(A?9E)x?0的基础解系p3?(1/2? 1/2? 1)T? 向量p3就是对应于特征值?3?9的特征值向量?
?0?0 (3)?0?1?001001001?0?. 0?0??0??1001??010?(??1)2(??1)2? 0???? 解 |A??E|?001故A的特征值为?1??2??1? ?3??4?1? 对于特征值?1??2??1? 由
?1?0A?E??0?1?011001101??10?~?00??0?01???010001001?0?? 0?0??得方程(A?E)x?0的基础解系p1?(1? 0? 0? ?1)T? p2?(0? 1? ?1? 0)T? 向量p1和p2是对应于特征值?1??2??1的线性无关特征值向量? 对于特征值?3??4?1? 由
??1?0A?E??0?1?0?11001?101??10?~?00??0?0?1???01000?100?1?0?? 0?0??得方程(A?E)x?0的基础解系p3?(1? 0? 0? 1)T? p4?(0? 1? 1? 0)T? 向量p3和p4是对应于特征值?3??4?1的线性无关特征值向量?
6? 设A为n阶矩阵? 证明AT与A的特征值相同? 证明 因为
|AT??E|?|(A??E)T|?|A??E|T?|A??E|?