?y??1?令 ?y2???y3???x?12(x1?x2)?121(x?2x)? 即?x??2322?2x3?x3??1y?1y?1y2122232y2?2y3?
21y23二次型化为规范形
f?y12?y22?y32?
所用的变换矩阵为
?1?1?1?1C??022?? 2?001??? 31? 设
f?x12?x22?5x32?2ax1x2?2x1x3?4x2x3
为正定二次型? 求a?
?1a?1? 解 二次型的矩阵为A??a12?? 其主子式为
??125???1a?11a2?1?a? a12??a(5a?4)? a11?1? a1?125 因为f为正主二次型? 所以必有1?a2?0且?a(5a?4)?0? 解之得?4?a?0?
5
32? 判别下列二次型的正定性? (1) f??2x12?6x22?4x32?2x1x2?2x1x3?
??211? 解 二次型的矩阵为A??1?60?? 因为
?10?4???a11??2?0? ?21?11?0? |A|??38?0? 1?6所以f为负定?
(2) f?x12?3x22?9x32?19x42?2x1x2?4x1x3?2x1x4?6x2x4?12x3x4? ?1??1 解 二次型的矩阵为A??2?1??130?3209?61??3?? 因为 ?6?19??1?121?1a11?1?0? ?4?0, ?130?6?0, A?24?0? ?13209所以f为正定?
33? 证明对称阵A为正定的充分必要条件是? 存在可逆矩阵U? 使A?U TU? 即A与单位阵E合同?
证明 因为对称阵A为正定的? 所以存在正交矩阵P使
PTAP?diag(?1? ?2? ? ? ?? ?n)??? 即A?P?PT?
其中?1? ?2? ? ? ?? ?n均为正数?
令?1?diag(?1, ?2, ? ? ? ,?n)? 则???1?1? A?P?1?1TPT? 再令U??1TPT? 则U可逆? 且A?UTU?