所以AT与A的特征多项式相同? 从而AT与A的特征值相同? 7? 设n阶矩阵A、B满足R(A)?R(B)?n? 证明A与B有公共的特征值? 有公共的特征向量? 证明 设R(A)?r? R(B)?t? 则r?t?n?
若a1? a2? ???? an?r是齐次方程组Ax?0的基础解系? 显然它们是A的对应于特征值??0的线性无关的特征向量?
类似地? 设b1? b2? ???? bn?t是齐次方程组Bx?0的基础解系? 则它们是B的对应于特征值??0的线性无关的特征向量? 由于(n?r)?(n?t)?n?(n?r?t)?n? 故a1? a2? ???? an?r? b1? b2? ???? bn?t必线性相关? 于是有不全为0的数k1? k2? ???? kn?r? l1? l2? ???? ln?t? 使
k1a1?k2a2? ??? ?kn?ran?r?l1b1?l2b2? ??? ?ln?rbn?r?0?
记 ??k1a1?k2a2? ??? ?kn?ran?r??(l1b1?l2b2? ??? ?ln?rbn?r)? 则k1? k2? ???? kn?r不全为0? 否则l1? l2? ???? ln?t不全为0? 而
l1b1?l2b2? ??? ?ln?rbn?r?0?
与b1? b2? ???? bn?t线性无关相矛盾?
因此? ??0? ?是A的也是B的关于??0的特征向量? 所以A与B有公共的特征值? 有公共的特征向量?
8? 设A2?3A?2E?O? 证明A的特征值只能取1或2? 证明 设?是A的任意一个特征值? x是A的对应于?的特征向量? 则
(A2?3A?2E)x??2x?3?x?2x?(?2?3??2)x?0?
因为x?0? 所以?2?3??2?0? 即?是方程?2?3??2?0的根? 也就是说??1或??2?
9? 设A为正交阵? 且|A|??1? 证明???1是A的特征值? 证明 因为A为正交矩阵? 所以A的特征值为?1或1? 因为|A|等于所有特征值之积? 又|A|??1? 所以必有奇数个特征值为?1? 即???1是A的特征值?
10? 设??0是m阶矩阵Am?nBn?m的特征值? 证明?也是n阶矩阵BA的特征值?
证明 设x是AB的对应于??0的特征向量? 则有 (AB)x??x? 于是 B(AB)x?B(?x)? 或 BA(B x)??(Bx)?
从而?是BA的特征值? 且Bx是BA的对应于?的特征向量? 11? 已知3阶矩阵A的特征值为1? 2? 3? 求|A3?5A2?7A|? 解 令?(?)??3?5?2?7?? 则?(1)?3? ?(2)?2? ?(3)?3是?(A)的特征值? 故
|A3?5A2?7A|?|?(A)|??(1)??(2)??(3)?3?2?3?18? 12? 已知3阶矩阵A的特征值为1? 2? ?3? 求|A*?3A?2E|? 解 因为|A|?1?2?(?3)??6?0? 所以A可逆? 故 A*?|A|A?1??6A?1? A*?3A?2E??6A?1?3A?2E?
令?(?)??6??1?3?2?2? 则?(1)??1? ?(2)?5? ?(?3)??5是?(A)
的特征值? 故
|A*?3A?2E|?|?6A?1?3A?2E|?|?(A)|
??(1)??(2)??(?3)??1?5?(?5)?25? 13? 设A、B都是n阶矩阵? 且A可逆? 证明AB与BA相 似?
证明 取P?A? 则
P?1ABP?A?1ABA?BA?
即AB与BA相似?
?201? 14? 设矩阵A??31x?可相似对角化? 求x?
?405??? 解 由
2??01|A??E|?31??x??(??1)2(??6)?
405??得A的特征值为?1?6? ?2??3?1?
因为A可相似对角化? 所以对于?2??3?1? 齐次线性方程组(A?E)x?0有两个线性无关的解? 因此R(A?E)?1? 由
?101?r?101?(A?E)??30x?~?00x?3?
?404??000?????知当x?3时R(A?E)?1? 即x?3为所求?
?2?12? 15? 已知p?(1? 1? ?1)是矩阵A??5a3?的一个特征向
??1b?2???T
量?
(1)求参数a? b及特征向量p所对应的特征值? 解 设?是特征向量p所对应的特征值? 则 2??1??0??2???1 (A??E)p?0? 即?5a??3??1???0??
??1b?2?????1??0???????解之得???1? a??3? b?0?
(2)问A能不能相似对角化？并说明理由? 解 由
2???12|A??E|?5?3??3??(??1)3?
?10?2??得A的特征值为?1??2??3?1? 由
?1?12?r?101?A?E??5?23?~?01?1?
??1b?1??000?????知R(A?E)?2? 所以齐次线性方程组(A?E)x?0的基础解系只有一个解向量? 因此A不能相似对角化?
16? 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵:
?2?20? (1)??21?2?;
?0?20??? 解 将所给矩阵记为A? 由
2???20A??E??21???2?(1??)(??4)(??2)?
0?2??得矩阵A的特征值为?1??2? ?2?1? ?3?4? 对于?1??2? 解方程(A?2E)x?0? 即
?4?20??x1???23?2??x??0? ?0?22??x2????3?得特征向量(1? 2? 2)T ? 单位化得p1?(1, 2, 2)T?
333 对于?2?1, 解方程(A?E)x?0? 即
?1?20??x1???20?2??x??0? ?0?2?1??x2????3?得特征向量(2? 1? ?2)T ? 单位化得p2?(2, 1, ?2)T?
333 对于?3?4, 解方程(A?4E)x?0? 即
??2?20??x1???2?3?2??x??0? ?0?2?4??x2????3?得特征向量(2? ?2? 1)T ? 单位化得p3?(2, ?2, 1)T?
333 于是有正交阵P?(p1? p2? p3)? 使P?1AP?diag(?2? 1? 4)? ?22?2? (2)?25?4??
??2?45??? 解 将所给矩阵记为A? 由