2??2?2A??E?25???4??(??1)2(??10)?
?2?45??得矩阵A的特征值为?1??2?1? ?3?10? 对于?1??2?1? 解方程(A?E)x?0? 即
?12?2??x1??0??24?4??x???0?? ??2?44??x2??0????3???得线性无关特征向量(?2? 1? 0)T和(2? 0? 1)T ? 将它们正交化、单位化得
p1?1(?2, 1, 0)T? p2?1(2, 4, 5)T? 535 对于?3?10, 解方程(A?10E)x?0? 即
??82?2??x1??0??2?5?4??x???0?? ??2?4?5??x2??0????3???得特征向量(?1? ?2? 2)T ? 单位化得p3?1(?1, ?2, 2)T?
3 于是有正交阵P?(p1? p2? p3)? 使P?1AP?diag(1? 1? 10)? ?5??1?2?4?? 17? 设矩阵A???2x?2?与???4?相似? 求x? y? 并????4?21?y????求一个正交阵P? 使P?1AP???
解 已知相似矩阵有相同的特征值? 显然??5? ???4? ??y是?的特征值? 故它们也是A的特征值? 因为???4是A的特征值? 所以
5?2?4|A?4E|??2x?4?2?9(x?4)?0?
?4?25解之得x?4?
已知相似矩阵的行列式相同? 因为
51?2?4|A|??2?4?2??100? |?|??4??20y?
?4?21y所以?20y??100? y?5?
对于??5? 解方程(A?5E)x?0? 得两个线性无关的特征向量(1? 0? ?1)T? (1? ?2? 0)T? 将它们正交化、单位化得
p1?1(1, 0, ?1)T? p2?1(1, ?4, 1)T?
232 对于???4? 解方程(A?4E)x?0? 得特征向量(2? 1? 2)T? 单位化得p3?1(2, 1, 2)T?
3?1??2 于是有正交矩阵P??0?1????221?332?1?4??? 使P?1AP??? 332?21??332? 18? 设3阶方阵A的特征值为?1?2? ?2??2? ?3?1? 对应的特征向量依次为p1?(0? 1? 1)T? p2?(1? 1? 1)T? p3?(1? 1? 0)T? 求A. 解 令P?(p1? p2? p3)? 则P?1AP?diag(2? ?2? 1)??? A?P?P?1? 因为
?011???110?P?1??111???1?11??
?110??01?1??????1?011??20所以 A?P?P?1??111??0?2?110??00???0???110???13?3?0??1?11????45?3?? ?01?1???44?2?1?????? 19? 设3阶对称阵A的特征值为?1?1? ?2??1? ?3?0? 对应?1、
?2的特征向量依次为p1?(1? 2? 2)T? p2?(2? 1? ?2)T? 求A?
?x1x2x3? 解 设A??x2x4x5?? 则Ap1?2p1? Ap2??2p2? 即
??xxx?356???x1?2x2?2x3?1?x2?2x4?2x5?2? ???① ??x3?2x5?2x6?2??2x1?x2?2x3??2?2x2?x4?2x5??1? ???② ??2x3?x5?2x6?2再由特征值的性质? 有
x1?x4?x6??1??2??3?0? ???③
由①②③解得
x1??1?1x6? x2?1x6? x3?2?1x6? 32234 x4?1?1x6? x5?2?1x6?
3432令x6?0? 得x1??1? x2?0? x3?2? x4?1? x5?2?
3333??102?1因此 A??012?? 3?220??? 20? 设3阶对称矩阵A的特征值?1?6? ?2?3? ?3?3? 与特征值
?1?6对应的特征向量为p1?(1? 1? 1)T? 求A.
?x1x2x3? 解 设A??x2x4x5??
??xxx?356? 因为?1?6对应的特征向量为p1?(1? 1? 1)T? 所以有
x1?x2?x3?6??1??1??A?1??6?1?? 即?x2?x4?x5?6 ???①? ?1??1???????x3?x5?x6?6 ?2??3?3是A的二重特征值, 根据实对称矩阵的性质定理知R(A?3E)?1? 利用①可推出
x3??11?x1?3x21?A?3E??x2x4?3x5?~?x2x4?3x5??
????xxx?3xxx?3?5656?3??3因为R(A?3E)?1? 所以x2?x4?3?x5且x3?x5?x6?3? 解之得
x2?x3?x5?1? x1?x4?x6?4?
?411?因此 A??141??
?114??? 21? 设a?(a1? a2? ???? an)T ? a1?0? A?aaT? (1)证明??0是A的n?1重特征值?
证明 设?是A的任意一个特征值? x是A的对应于?的特征向量? 则有
Ax??x?
?2x?A2x?aaTaaTx?aTaAx??aTax? 于是可得?2??aTa? 从而??0或??aTa?
设?1? ?2? ? ? ?? ?n是A的所有特征值? 因为A?aaT的主对角线性上的元素为a12? a22? ? ? ?? an2? 所以
a12?a22? ? ? ? ?an2?aTa??1??2? ? ? ? ??n?
这说明在?1? ?2? ? ? ?? ?n中有且只有一个等于aTa? 而其余n?1个全为0? 即??0是A的n?1重特征值?
(2)求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量? 解 设?1?aTa? ?2? ? ? ? ??n?0?
因为Aa?aaTa?(aTa)a??1a? 所以p1?a是对应于?1?aTa的特征向量?
对于?2? ? ? ? ??n?0? 解方程Ax?0? 即aaTx?0? 因为a?0? 所以aTx?0? 即a1x1?a2x2? ? ? ? ?anxn?0? 其线性无关解为
p2?(?a2? a1? 0? ???? 0)T? p3?(?a3? 0? a1? ???? 0)T?
? ? ??
pn?(?an? 0? 0? ???? a1)T?
因此n个线性无关特征向量构成的矩阵为
?a1?a(p1, p2, ???,pn)??2?????an?a2a1???0?????????????an?0??? ????a1?